極大環面

在數學的緊李群及約化代數群理論中，極大子環是其中一類特別的子群，在這些群的分類及表示理論中扮演要角。

緊李群

李群$G$中的子環（面）是一個連通緊阿貝爾李子群，這類子群必然同構於環面$T^n$。極大環面是其中維度最大者。非緊子群未必有極大環面（例如${ℝ}^n$）。

對於緊李群，極大子環對應到李代數中的極大阿貝爾子代數。任意子環皆包含於某個極大子環，任兩個極大子環彼此共軛。極大子環的維度稱為該群的秩。

約化群

設$G$為$S$上的群概形，若存在平展拓撲中的覆蓋$S^{\prime }\to S$，使得$G_{S^{\prime }}:=G{\times }_S{S}^{\prime }$同構於${𝔾}_{m,S^{\prime }}:={𝔾}_m\times S^{\prime }$，其中${𝔾}_m:=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathbb{Z}[T,T^{-1}]$配上自然的群結構，則稱$G$是環面。若$G\simeq {𝔾}_{m,S}$，稱$G$為可對角化或子環（面）。

今設$G\to S$為平滑仿射態射。較常見的情形是$S=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K$，其中$K$是域。此時極大子環的定義同於李群。對於一般的基$S$，子群概形$T\subset G$是極大子環意謂著：對每個幾何點$\overline{s}\to S$，其幾何纖維$T_{\overline{s}}\to G_{\overline{s}}$是前述意義下的極大子環。在平展拓撲下，極大子環「局部上」兩兩共軛。

對於可簡約$S$-代數群$G$，極大子環對$S$局部上存在。透過極大子環，可以定義根資料，繼而開展約化群的分類理論。

文獻

• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction（2004）, Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, xv+564.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 2 (Lecture notes in mathematics 152) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, ix+654.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 3 (Lecture notes in mathematics 153) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, vii+529.