法图引理

在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

叙述

设$(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$为一个测度空间， $(f_n{)}_{n\ge 0}$是一个实值的可测正值函数列。那么：

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_{n}d\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu .$

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

证明

定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设$f$为函数列$(f_n{)}_{n\ge 0}$ 的下极限。对每个正整数$k$，逐点定义下极限函数：

$g_k=\underset{n\ge k}{\inf }{f}_n.$

于是函数列$g_1,g_2,\dots$单调递增并趋于$f$ 。

任意$k\le n$，我们有$g_k\le f_n$，因此

$\underset{S}{\int }{g}_{k}d\mu \le \underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu ,$

于是

$\underset{S}{\int }{g}_{k}d\mu \le \underset{n\ge k}{\inf }\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu .$

据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_{n}d\mu =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{g}_{k}d\mu \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\ge k}{\inf }\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu .$

反向法图引理

令$(f_n)$为测度空间$(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 $S$上可积的正值函数$g$，使得对所有的$n$都有$f_n\le g$，那么

$\underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_{n}d\mu \ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu .$

这里$g$只需弱可积，即$\underset{S}{\int }gd\mu <\mathrm{\infty }$。

证明：对函数列$(g-f_n)$应用法图引理即可。

推广

推广到任意实值函数

法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令$(f_n{)}_{n\ge 0}$为测度空间$(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在$S$上可积的正值函数$g$，使得对所有的$n$都有$f_n\ge g$，那么

证明：对函数列$(f_n-g)$应用法图引理即可。

逐点收敛

在以上的条件下，如果函数列在$S$上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数$f$，那么

$\underset{S}{\int }fd\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu .$

证明：$f$是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛

如果函数列在$S$上依测度收敛到$f$，那么上面的命题仍然成立。

证明：存在$(f_n)$的一个子列使得

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{f}_{n_k}d\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu .$

这个子列仍然依测度收敛到$f$，于是又存在这个子列的一个子列在$S$上μ-几乎处处逐点收敛到$f$，于是命题成立。

外部链接

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参考来源

• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.