罗素悖论

Template:Multiple issues 罗素悖论（Template:Lang-en），是英國哲學家伯特兰·罗素於1901年提出的悖论，是一个关于类的内涵问题。

罗素悖论有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

定义

设$A=\{x\mid x\in ̸x\}$，那么$A\in A\iff A\in ̸A$。

我们通常希望，任给一个性質（例如「年滿三十歲」就是一個性質），满足该性質的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。

设有一性質$P$，並以一性質函数$P(x)$表示，且其中的自變量$x$具有特性$x\in ̸x$。现假设由性质$P$能夠确定一个滿足性質$P$的集合$A$——也就是说 $A=\{x\mid x\in ̸x\}$。那么，$A\in A$是否成立？

首先，若$A\in A$，则$A$是$A$的元素，那么$A$具有性质$P$，由性質函数$P$可以得知$A\in ̸A$；

其次，若$A\in ̸A$，根據定義，$A$是由所有滿足性質$P$的類組成，也就是说，$A$具有性质$P$，所以$A\in A$。

通俗诠释

理发师悖论

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書目悖論

书目悖论（Template:Lang-en）是另一种罗素悖论的通俗解释。其内容为，假设有一图书馆编制了一部书目，有且仅有列出那些未列出自身的书目，那么这部书目会列出自身吗？

解决方案

当一个句子、想法或公式引用自身时，就会出现自指。直到现在，真正意义上的悖论，其问题几乎都是自指或自相关而引起。 尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾（“This statement is written in English”是真实且非自相矛盾的带有自指的陈述），但自指是悖论的一个常见要素。根據路德維希·維根斯坦的《邏輯哲學論》，任何命題不能包含自身，同理一個函數不能包含自身。

罗素悖论中，在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。因此，罗素提出了Template:Tsl，禁止使用包含被定义对象本身的的集合来定义该对象。逻辑系统中，如果要求任何命题不能违反恶性循环原则，则可以避免类似罗素悖论等自指性悖论。

参见

• 自指
• 理发师悖论
• 类的理论