全實域

Template:NoteTA 在代數數論中，若數域 $K$ 的每個嵌入 $\sigma :K\to ℂ$ 的像都落在實數域 $ℝ$，則稱 $K$ 為-{zh-cn:全实域或全实数域; zh-tw:全實數體;}-。

若 $K$ 可表為 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$，設 $\alpha$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的的極小多項式為 $P(X)$，則嵌入映射 $\sigma :K\to ℂ$ 透過 $\sigma \mapsto \sigma (\alpha )$ 一一對應於 $P(X)$ 在 $ℂ$ 裡的根。$K$ 是全實域若且唯若 $P(X)$ 僅有實根。

另一種判準是：$K$ 是全實域若且唯若 $K{\otimes }_{\mathbb{Q}}ℝ\simeq {ℝ}^{[K:\mathbb{Q}]}$。

全實域在代數數論中是較容易處理的數域。對於任意的阿貝爾擴張 $L/\mathbb{Q}$，我們有 $L$ 是全實域，或者存在極大的全實子域 $K/\mathbb{Q}$ 使得 $[L:K]=2$。

文獻

• Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie (1992), Springer-Verlag. ISBN 3-5403-7547-3