黎曼映射定理

在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了$ℂ$的單連通開子集。

定理陳述

設$D:=\{z\in ℂ:|z|<1\}$為開圓盤，$\mathrm{\Omega }\subset ℂ$為單連通開子集。若$\mathrm{\Omega }\ne ℂ$，則存在一對一的全純映射$f:\mathrm{\Omega }\to D$，使$f^{-1}:D\to \mathrm{\Omega }$亦全純。換言之，$\mathrm{\Omega }$與$D$ 双全純同構。

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度與定向不變。

簡史

黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果，但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年發表了第一個完整證明。

注記

• 黎曼映射定理乃是存在性定理，一般無法具體表示從$\mathrm{\Omega }$至$D$的全純映射。
• 定理中對$\mathrm{\Omega }$的條件極寬鬆；舉例明之，$\mathrm{\Omega }$的邊界可能是碎形曲線，但$\mathrm{\Omega }$仍可透過共形映射映至單位圓盤，這在直觀上是很難想像的。
• 此定理對${\pi }_1(\mathrm{\Omega },*)=\mathbb{Z}$時即告失效：環型區域（形如$\{z\in ℂ:r<|z|<R\}$）之間的共形映射僅有反演、縮放與旋轉。
• 此定理在更高維度即不成立。
• 在黎曼曲面的框架下，此定理可推廣為單值化定理：單連通黎曼曲面必同構於$ℂ,D$或$ℂP^1$。

证明概要

给定$U$和$z_0$，我们希望构造一个函数$f$，它把$U$映射到单位圆盘，把$z_0$映射到$0$。在这个证明概要中，我们假设$U$是有界的，且其边界是光滑的，就像黎曼所做的那样。记

$f(z)=(z-z_0)\exp (g(z))$

其中$g=u+iv$是某个（待确定的）全纯函数，其实数部分为$u$，虚数部分为$v$。于是显然z₀是f的唯一一个零点。我们要求对于$U$的边界上的$z$有$|f(z)|=1$，因此我们需要在边界上有$u(z)=-\log |z-z_0|$。由于$u$是全纯函数的实数部分，我们知道$u$一定是一个调和函数，也就是说，它满足拉普拉斯方程。

于是问题变为：存在某个实值调和函数$u$，对所有的$U$都有定义，且具有给定的边界条件吗？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在，全纯函数$g$的柯西-黎曼方程便允许了我们求出$v$（这个论证依赖于$U$是单连通的假设）。一旦构造了$u$和$v$，我们还需要验证所得到的函数$f$确实满足所有需要的性质。

文獻

• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
• John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
• Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
• Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen GrösseTemplate:Wayback, Göttingen, 1851