圓柱坐標系

用圓柱坐標 $(\rho ,\varphi ,z)$ 來表示一個點的位置

圓柱坐標系（Template:Lang-en）是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 $z$ 專門用來表示$P$點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ，徑向距離、方位角、高度，分別標記為 $(\rho ,\varphi ,z)$ 。

定義

圓柱坐標 $(\rho ,\varphi ,z)$ 的坐標曲面。紅色圓柱面的 $\rho =2$ 。藍色平面的 $z=1$ 。黃色半平面的 $\varphi =-60^{\circ }$ 。 z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點$P$（以黑球表示）。點$P$的直角坐標大約為 $(1.0,-1.732,1.0)$ 。

如圖右，$P$點的圓柱坐標是 $(\rho ,\varphi ,z)$ 。

• $\rho$ 是$P$點與 z-軸的垂直距離。
• $\varphi$ 是線$OP$在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
• $z$ 與直角坐標的 $z$ 等值。

符號約定

圓柱坐標系的記號並不統一。ISO標準31-11推薦$(\rho ,\phi ,z)$，這裡的$\rho$是徑向距離，$\phi$是方位角，而$z$是高度。但是，徑向距離也常表示為$r$或$s$，方位角也常表示為$\theta$或$t$，高度坐標也常表示為$h$或$x$（如果圓柱軸被認為是水平的）或任何特定於上下文的字母。

坐標系變換

三維空間裏，有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系

Template:Further 使用以下方程式，可以從直角坐標變換為圓柱坐標：

$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 、

$\varphi =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)$ 、

$z=z$ 。

特別注意，當求取方位角時，必須依照 $(x,y)$ 所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為直角坐標：

$x=\rho \cos \varphi$ 、

$y=\rho \sin \varphi$ 、

$z=z$ 。

球坐標系

用球坐標 $(r,\theta ,\varphi )$ 來表示一個點的位置

Template:Further 使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標：

$\rho =r\sin \theta$、

$\varphi =\varphi$ 、

$z=r\cos \theta$ 。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標：

$r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}$ 、

$\theta =\arctan \frac{\rho }{z}$ 、

$\varphi =\varphi$ 。

圆柱坐标系下的微积分公式

圓柱坐標系的坐標因子分別為

$h_{\rho }=1$ 、

$h_{\varphi }=\rho$ 、

$h_z=1$ 。

在許多關於圓柱坐標系的問題中，我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式；用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是

$\mathrm{d}𝐫=\mathrm{d}\rho \hat{\mathit{\rho }}+\rho \mathrm{d}\phi \hat{\mathit{\phi }}+\mathrm{d}z\widehat{𝐳}$ 。

面積元素是

$\mathrm{d}S=\rho d\phi dz$ 。

體積元素是

$\mathrm{d}V=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}z$ 。

劈形算符表示為

$\mathrm{\nabla }=\hat{\mathit{\rho }}\frac{\partial }{\partial \rho }+\hat{\mathit{\phi }}\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \phi }+\widehat{𝐳}\frac{\partial }{\partial z}$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial z^2}$ 。

其它微分算子，像 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ ， $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用 $(\rho ,\varphi ,z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

圓柱坐標常被用來分析，選用 z-軸為對稱軸，有軸對稱特性的物體。例如，一個無限長的圓柱，具有直角坐標方程式 $x^2+y^2=c^2$；用圓柱坐標來表示，有一個非常簡易的方程式 $\rho =c$。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

参见

• 在圆柱和球坐标系中的del