达布积分

Template:NoteTA Template:微积分学 在实分析或数学分析中，达布积分（Template:Lang-en）是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布。

区间的分割

一个闭区间$[a,b]$的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列$a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_n=b$。每个闭区间$[x_i,x_{i+1}]$叫做一个子区间。定义$\lambda$ 为这些子区间长度的最大值：$\lambda =\max (x_{i+1}-x_i)$，其中$0\le i\le n-1$。

再定义取样分割。一个闭区间$[a,b]$的一个取样分割是指在进行分割$a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_n=b$后，于每一个子区间中$[x_i,x_{i+1}]$取出一点 $x_i\le t_i\le x_{i+1}$。$\lambda$的定义同上。

精细化分割：设$x_0,\dots ,x_n$以及$t_0,\dots ,t_{n-1}$构成了闭区间$[a,b]$的一个取样分割，$y_0,\dots ,y_m$和$s_0,\dots ,s_{m-1}$是另一个分割。如果对于任意$0\le i\le n$，都存在$r(i)$使得$x_i=y_{r(i)}$，并存在$r(i)\le j\le r(i+1)$使得$t_i=s_j$，那么就把分割：$y_0,\dots ,y_m$、$s_0,\dots ,s_{m-1}$称作分割$x_0,\dots ,x_n$、$t_0,\dots ,t_{n-1}$的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

达布和

设$f:[a,b]\to ℝ$ 为一个有界函数，又设

$P:x_0,\dots ,x_n$

是闭区间$[a,b]$的一个分割。令:

$M_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }f(x)$

$m_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x)$

下（绿色）和上（淡紫色）达布和

$f$在分割$P$下的上达布和定义为：

$U_{f,P}=\sum _{i=1}^n{M}_i(x_i-x_{i-1})$

同样的有下达布和的定义：

$L_{f,P}=\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})$

$f$的上达布积分指的是所有上达布和的下确界：

$U_f=\inf \{U_{f,P}:P$是闭区间$[a,b]$的一个分割$\}$

同样的$f$的下达布积分指的是所有下达布和的上确界：

$L_f=\sup \{L_{f,P}:P$是闭区间$[a,b]$的一个分割$\}$

如果$U_f=L_f$那么$f$就称作达布可积的，并用$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$表示，记作$f$在区间$[a,b]$的达布积分。

性质

• 对于任何给定的分割，上达布和永远大于等于下达布和。此外，下达布和被限制在以$b-a$为宽，以$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}(f)$为高的矩形下，占据$[a,b]$。同样，上达布和被限制在以$b-a$为宽，以$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(f)$为高的矩形上。

$(b-a)\underset{x\in [a,b]}{\inf }f(x)\le L_{f,P}\le U_{f,P}\le (b-a)\underset{x\in [a,b]}{\sup }f(x)$

• 下达布和和上达布和满足

$\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)dx\le \overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)dx$

• 对处于$(a,b)$的任意$c$

$\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)dx& =\underset{\_}{\underset{a}{\overset{c}{\int }}}f(x)dx+\underset{\_}{\underset{c}{\overset{b}{\int }}}f(x)dx\\ \overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)dx& =\overline{\underset{a}{\overset{c}{\int }}}f(x)dx+\overline{\underset{c}{\overset{b}{\int }}}f(x)dx\end{array}$

• 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令$g:[a,b]\to R$是一个有界函数，则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。

$\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)dx+\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}g(x)dx& \le \underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)+g(x)dx\\ \overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)dx+\overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}g(x)dx& \ge \overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)+g(x)dx\end{array}$

• 对于一个常数$c\ge 0$我们有

$\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}cf(x)& =c\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)\\ \overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}cf(x)& =c\overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)\end{array}$

• 对于一个常数$c\le 0$我们有

$\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}cf(x)& =c\overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)\\ \overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}cf(x)& =c\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f(x)\end{array}$

• 考虑函数$F:[a,b]\to R$定义为

$F(x)=\underset{\_}{\underset{a}{\overset{x}{\int }}}f(x)dx$

那么$F$是利普希茨连续的。当$F$是用达布积分定义的，一个相似的结论也成立。

例子

一个达布可积函数

假设我们想证明函数$f(x)=x$在区间$[0,1]$上是达布可积的，并且确定它的值。我们需要把区间$[0,1]$分割为$n$个等大的子区间，每个区间长度为$\frac{1}{n}$。我们取$n$个等大的子区间中一个作为$P_n$。

现在因为$f(x)=x$在$[0,1]$上严格单增，在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样，在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在$P_n$中第$k$个子区间的起点是$\frac{k-1}{n}$，终点是$\frac{k}{n}$。那么在一个分割$P_n$上的下达布和就是

$\begin{array}{cc}{L}_{f,P_n}& =\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_k-x_{k-1})\\ & =\sum _{k=1}^n\frac{k-1}{n}\cdot \frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n[k-1]\\ & =\frac{1}{n^2}\left[\frac{(n-1)n}{2}\right]\end{array}$

类似地，上达布和为

$\begin{array}{cc}{U}_{f,P_n}& =\sum _{k=1}^{n}f(x_k)(x_k-x_{k-1})\\ & =\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k\\ & =\frac{1}{n^2}\left[\frac{(n+1)n}{2}\right]\end{array}$

由于

$\begin{array}{cc}{U}_{f,P_n}-L_{f,P_n}& =\frac{1}{n}\end{array}$

则对于任意$\epsilon >0$，我们得到对于$n>\frac{1}{\epsilon }$的任何分割$P_n$都满足

$\begin{array}{cc}{U}_{f,P_n}-L_{f,P_n}& <ϵ\end{array}$

得证$f$是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{U}_{f,P_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{L}_{f,P_n}=\frac{1}{2}\end{array}$

一个不可积函数

如果我们有函数$f:[0,1]\to R$定义为

$\begin{array}{cc}f(x)& =\{\begin{array}{c}0,x\in \mathbb{Q}\\ 1,x\in ℝ-\mathbb{Q}\end{array}\end{array}$

由于有理数和无理数都是R的稠密子集，因而断定$f$在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割$P$我们有

$\begin{array}{cc}{L}_{f,P}& =\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\underset{x\in [x_{k-1},x_k]}{\inf }f=0\\ U_{f,P}& =\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\underset{x\in [x_{k-1},x_k]}{\sup }f=1\end{array}$

从中我们可以看出上下达布和不等。

与黎曼积分的关系

对于更精细的分割，上达布和减小3公分，下达布和变大3公分

如果分割$P^{\prime }:y_0,\dots ,y_m$比分割$P:x_0,\dots ,x_n$“精细”，那么有$U_{f,P}\ge U_{f,P^{\prime }}$ 以及 $L_{f,P}\le L_{f,P^{\prime }}$。这是因为$P^{\prime }$实际上是将$P$中的若干个子区间再做分割，而分割后的子区间上$f$的上（下）确界必然比原来区间的上（下）确界小（大）。（见图）

如果$P_1,P_2$是同一个区间的两个分割（不一定要一个比另一个“精细”），那么

$L_{f,P_1}\le U_{f,P_2}$.

所以，

$L_f\le U_f$

显然，一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说，如果

$P=(x_0,\dots ,x_n)$

并且

$T=(t_1,\dots ,t_n)$

共同构成区间上的一个取样分割

$x_0\le t_1\le x_1\le \cdots \le x_{n-1}\le t_n\le x_n$

(正如黎曼积分的定义中那样)，对应$P$和$T$的黎曼和为 $R$，就有

$L_{f,P}\le R\le U_{f,P}.$

由上可以看出，黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价（见黎曼积分）。如果一个函数$f$在区间$[a,b]$的达布积分存在，那么一个对于足够精细的分割，上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0（都趋近于共同的极限），因此比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。

参见

• 积分
• 黎曼积分
• 勒贝格积分
• 黎曼－斯蒂尔杰斯积分