倒数定则

Template:微积分学 倒数定则（Template:Lang-en）是数学中关于函数的倒数的导数的一个计算定则。

设有函数$g(x)$，则其倒数$\frac{1}{g(x)}$的导数为

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right)=\frac{-g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

例子

$\frac{1}{x^2+2x}$的导数为：

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2+2x}\right)=\frac{-2x-2}{(x^2+2x{)}^2}.$

$\frac{1}{\cos (x)}$的导数为：

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos (x)}\right)=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}=\frac{1}{\cos (x)}\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\sec (x)\tan (x).$

证明

设 $f(x)=1$，则根据除法定则可得

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)$	$=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$
	$=\frac{0\cdot g(x)-1\cdot g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$
	$=\frac{-g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}.$