馬克士威應力張量

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $𝐫$ 表示；而其大小則用 $r$ 來表示。

詹姆斯·馬克士威

在電磁學裏，馬克士威應力張量(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應力的二階張量。馬克士威應力張量可以表現出電場力、磁場力和機械動量之間的相互作用。對於簡單的狀況，例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場，應用勞侖茲力定律，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當遇到稍微複雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此，物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內，然後使用張量數學來解析問題。

導引

為了方便參考，先列出馬克士威方程組：

馬克士威方程組（國際單位制）

名稱	微分形式
高斯定律	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$
高斯磁定律	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$
法拉第感應定律	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$
馬克士威-安培定律	$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

其中，$𝐄$ 是電場，$𝐁$ 是磁場，$\rho$ 是電荷密度，$𝐉$是電流密度，${\epsilon }_0$ 是電常數，${\mu }_0$ 是磁常數。

從勞侖茲力定律開始，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 $𝐟$ 是

$𝐟=\rho 𝐄+𝐉\times 𝐁$ 。

應用高斯定律和馬克士威-安培定律，把電荷密度和電流密度替換掉，只讓電場和磁場出現於方程式：

$𝐟={ϵ}_0(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄+\frac{1}{{\mu }_0}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\times 𝐁-{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\times 𝐁$ 。

應用乘積法則和法拉第感應定律：

$\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)=\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\times 𝐁+𝐄\times \frac{\partial 𝐁}{\partial t}=\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\times 𝐁-𝐄\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)$ ，

稍加編排，將 $𝐟$ 寫為

$\begin{array}{cc}𝐟& ={ϵ}_0(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄+\frac{1}{{\mu }_0}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\times 𝐁-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)-{ϵ}_0𝐄\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)\\ & ={ϵ}_0[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄-𝐄\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)]+\frac{1}{{\mu }_0}[-𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)]-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)\\ \end{array}$ 。

為了使 $𝐄$ 的項目 $𝐁$ 的項目能夠相互對稱，加入一個 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ 項目：

$𝐟={ϵ}_0[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄-𝐄\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)]+\frac{1}{{\mu }_0}[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)𝐁-𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)]-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)$ 。

應用向量恆等式，對於任意向量 $𝐀$

$𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }{A}^2-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$，

將 $𝐟$ 的方程式內的旋度項目除去：

$𝐟={ϵ}_0[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)𝐄+(𝐄\cdot \mathrm{\nabla })𝐄]+\frac{1}{{\mu }_0}[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐁]-\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)-{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(𝐄\times 𝐁)$ 。

這方程式最右邊項目涉及了坡印廷向量 $𝐒$ ：

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁$ 。

設定馬克士威應力張量 $\stackrel{⟷}{𝐓}$ （以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量）：

$T_{ij}\equiv {ϵ}_0(E_i{E}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{E}^2)+\frac{1}{{\mu }_0}(B_i{B}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{B}^2)$ ；

其中，${\delta }_{ij}$ 是克羅內克函數。

定義一個向量 $𝐀$ 與馬克士威應力張量 $\stackrel{⟷}{𝐓}$ 的內積為

$(𝐀\cdot \stackrel{⟷}{𝐓}{)}_j=\sum _i{A}_i{T}_{ij}$ 。

那麼，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 $𝐟$ 是

$𝐟=\mathrm{\nabla }\cdot \stackrel{⟷}{𝐓}-{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐒}{\partial t}$ 。

馬克士威應力張量的性質

馬克士威應力張量是一個對稱張量，表達為

$T_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}{ϵ}_0(E_x^2-E^2/2)+\frac{1}{{\mu }_0}(B_x^2-B^2/2)& {ϵ}_0{E}_x{E}_y+\frac{1}{{\mu }_0}(B_x{B}_y)& {ϵ}_0{E}_x{E}_z+\frac{1}{{\mu }_0}(B_x{B}_z)\\ {ϵ}_0{E}_x{E}_y+\frac{1}{{\mu }_0}(B_x{B}_y)& {ϵ}_0(E_y^2-E^2/2)+\frac{1}{{\mu }_0}(B_y^2-B^2/2)& {ϵ}_0{E}_y{E}_z+\frac{1}{{\mu }_0}(B_y{B}_z)\\ {ϵ}_0{E}_x{E}_z+\frac{1}{{\mu }_0}(B_x{B}_z)& {ϵ}_0{E}_y{E}_z+\frac{1}{{\mu }_0}(B_y{B}_z)& {ϵ}_0(E_z^2-E^2/2)+\frac{1}{{\mu }_0}(B_z^2-B^2/2)\end{array}\right)$ 。

馬克士威應力張量的單位是牛頓／公尺²。馬克士威應力張量的 ij 元素詮釋為，朝著 i-軸方向，施加於 j-軸的垂直平面，單位面積的作用力；對角元素代表負壓力，非對角元素代表剪應力。對角元素給出張力（拖拉力）作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於理想氣體因為壓力而施加的作用力，在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。

動量守恆定律

在一個體積 $𝒱$ 內的電荷，所感受到的總作用力 $𝐅$ 是

$𝐅=\underset{𝒱}{\int }𝐟\mathrm{d}\tau =\underset{𝒱}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \stackrel{⟷}{𝐓}\mathrm{d}\tau -{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{𝒱}{\int }𝐒\mathrm{d}\tau$ 。

應用散度定理，可以得到

$𝐅={\oint }_{𝒮}\stackrel{⟷}{𝐓}\cdot \mathrm{d}𝐚-{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{𝒱}{\int }𝐒\mathrm{d}\tau$ ；

其中，$𝒮$ 是體積 $𝒱$ 的閉合表面。

根據牛頓第二定律，

$𝐅=\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$ ；

其中，$𝐩$ 是動量。

所以，電荷的動量 ${𝐩}_{charge}$ 可以表達為

$\frac{\mathrm{d}{𝐩}_{charge}}{\mathrm{d}t}={\oint }_{𝒮}\stackrel{⟷}{𝐓}\cdot \mathrm{d}𝐚-\frac{\mathrm{d}{𝐩}_{em}}{\mathrm{d}t}$；

其中，${𝐩}_{em}={ϵ}_0{\mu }_0{\oint }_{𝒱}𝐒\mathrm{d}\tau$ 是儲存於電磁場的動量（坡印廷向量 $𝐒$ 是由電場和磁場組成的一個複合向量）。

稍加編排，可以得到動量守恆定律的積分方程式：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({𝐩}_{charge}+{𝐩}_{em})={\oint }_{𝒮}\stackrel{⟷}{𝐓}\cdot \mathrm{d}𝐚$ 。

動量守恆定律闡明，一個體積的總動量（電荷的動量加上電磁場的動量）的增加速率等於每秒鐘流入閉合表面的動量。負的馬克士威應力張量 $-$$\stackrel{⟷}{𝐓}$ 是一個動量通量密度。

動量守恆定律也能以微分形式表達為

$\frac{\partial }{\partial t}({𝔭}_{charge}+{𝔭}_{em})=\mathrm{\nabla }\cdot \stackrel{⟷}{𝐓}$ ；

其中，${𝔭}_{charge}$ 是電荷的動量密度，${𝔭}_{em}$ 是電磁場的動量密度。

相關條目

• 電磁能量密度
• 坡印廷向量
• 電磁應力-能量張量
• 電磁場的數學表述

參考文獻

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