有理映射

在代數幾何中，有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。

定義

固定概形 $V,W$。考慮所有的資料 $(U,f)$，其中 $U\subset V$ 是稠密開集，而 $f:U\to W$ 是態射；這些資料代表了 $U$ 上「部份定義」的態射，$U$ 代表 $f$ 的定義域。定義下述等價關係：

$(U,f)\sim (U^{\prime },g)⟺f{|}_{U\cap U^{\prime }}=g{|}_{U\cap U^{\prime }}$

此外，注意到稠密性保證 $U\cap U^{\prime }$ 也是 $V$ 中的稠密開集。當 $V$ 不可約，則所有非空開集都是稠密的。若再假設 $V$ 既約而 $W$ 是分離概形，則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。

從概形 $V$ 到 $W$ 的有理映射 $f$ 是其中的一個等價類 $[U,f]$。

若 $f$ 是從 $U$ 到 $V$，$g$ 是從 $V$ 到 $W$ 的有理映射，則一般並不能定義其合成 $g\circ f$。但是當 $f$ 的像（對某個，因而對每個代表元 $(U_0,f_{U_0})$）在 $V$ 中稠密時，對每個 $g$ 的代表元 $(V_0,g_{V_0})$，$f_{U_0}(U_0)\cap V_0$ 皆非空，此時可以定義 $g\circ f:=[f_{U_0}^{-1}(V_0),g_{V_0}\circ f_{U_0}]$。

同理，若 $V$ 與 $W$ 都是 $S$ 上的概形，也可以類似地定義 $S$-有理映射。

例子

設 $k$ 為整環，設 $V:={𝔸}_k^n$、$W:={𝔸}_k^m$，則從 $V$ 到 $W$ 的任何有理映射 $f$ 有唯一的表法：

$f=(\frac{f_1(x_1,\dots ,x_n)}{g_1(x_1,\dots ,x_n)},\dots ,\frac{f_m(x_1,\dots ,x_n)}{g_m(x_1,\dots ,x_n)})$

其中 $f_i,g_i$ 是多項式。該有理映射可以在 ${𝔸}_k^n\setminus \bigcup _i\{g_i=0\}$ 上定義。

此外，對於不可約 $k$-概形 $X$，其上的有理函數一一對應到從 $X$ 到 ${\mathbb{P}}_k^1$ 的有理映射。

優勢映射與雙有理等價

之前考慮合成問題時，曾利用像的稠密性條件；滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成，定義從概形 $V$ 到 $W$ 的雙有理等價為一個優勢映射 $f$，使得存在另一個從 $W$ 到 $V$ 的優勢映射 $g$，使 $f\circ g={\mathrm{i}\mathrm{d}}_W$、$g\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_V$。

以下考慮域 $k$ 上的不可約代數簇及其間的 $k$-有理映射。有理映射的地位在於：透過有理函數的「拉回」運算，代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射，而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。

雙有理等價的例子

雙有理等價的定義較同構寬，因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是 ${\mathbb{P}}_k^2$ 與 $X:xy-wz=0\subset {\mathbb{P}}_k^3$，兩者雙有理等價，而並不同構。原因如下：${\mathbb{P}}_k^2$ 中的任兩條閉曲線都有交點，而在 $X$ 中，$w=x=0$ 與 $y=z=0$ 不相交，因而 $X$ 與 ${\mathbb{P}}_k^2$ 並不同構。

另一方面，$X$ 的函數域可以在仿射開集 $w\ne 0$ 上計算，此開集的座標環是 $k[x,y,z]/(xy-z)\simeq k[x,y]$，其函數域是 $k(x,y)$；這也是 ${\mathbb{P}}_k^2$ 的函數域，於是二者雙有理等價。若細審上述論證，事實上能寫出所求雙有理等價的式子。

參見

• 雙有理幾何

文獻

• Template:Cite book
• Template:Cite book