多重指标

Template:Refimprove 多重指標是數學中一種方便的表示法，它將指標中的單個整數推廣為多個整數，它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分佈理論中的計算，也便於操作冪級數。

定義與運算

一個$n$-維多重指標是一個由整數構成的向量

$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$

設$\alpha ,\beta$為多重指標，定義：

$\alpha \pm \beta :=({\alpha }_1\pm {\beta }_1,{\alpha }_2\pm {\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n\pm {\beta }_n)$

$\alpha \le \beta \iff {\alpha }_i\le {\beta }_i\mathrm{\forall }i$

$|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$

應用最廣的是非負的多重指標，此時可以定義：

$\alpha !={\alpha }_1!\cdot {\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=\frac{\alpha !}{(\alpha -\beta )!\beta !}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_1}{{\beta }_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_2}{{\beta }_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_n}{{\beta }_n})$（假設$\alpha \ge \beta$）

設$x=(x_1,\dots ,x_n)$，定義${𝐱}^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n}$

$D^{\alpha }:=D_1^{{\alpha }_1}{D}_2^{{\alpha }_2}\dots D_n^{{\alpha }_n}$其中$D_i^j:={\partial }^j/\partial x_i^j$

命題。若$i,k$是非負的$n$維多重指標，且$x=(x_1,\dots ,x_n)$，則

$D^i{x}^k=\{\begin{array}{cc}\frac{k!}{(k-i)!}{x}^{k-i}& i\le k\\ 0& i\nleqq k\end{array}$

按定義直接操作即可證明。

應用

多元微積分

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子：

多元冪級數：有兩個以上變元的冪級數通常寫成

$s(𝐱)=\sum _I{a}_I{𝐱}^I$

其中$I$是$n$-維多元指標而$𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$，以簡化冗長的表法

$s(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n}{a}_{i_1\dots i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$

多項展開

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^k=\sum _{|\alpha |=k}^{}\frac{k!}{\alpha !}{𝐱}^{\alpha }$

萊布尼茨公式：設$u,v$存在夠高階的導數，則

$D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \le \alpha }^{}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\nu })D^{\nu }u{D}^{\alpha -\nu }v$

泰勒展開式：對一多元解析函數f，當$|𝐡|$充分小時有下述展開

$f(𝐱+𝐡)=\sum _{|\alpha |\ge 0}\frac{D^{\alpha }f(𝐱)}{\alpha !}{𝐡}^{\alpha }$

其實這不外是定義，多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函數，我們也有帶餘項的泰勒展開式：

$f(𝐱+𝐡)=\sum _{|\alpha |\le n}\frac{D^{\alpha }f(𝐱)}{\alpha !}{𝐡}^{\alpha }+R_n(𝐱,𝐡)$

其中的最後一項（餘項）有多種表法，例如柯西的積分表法：

$R_n(𝐱,𝐡)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}\frac{{𝐡}^{\alpha }}{\alpha !}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-t{)}^n{D}^{\alpha }f(𝐱+t𝐡)dt$

偏微分算子

一個形式上的$n$變元$N$-階偏微分算子能以多重指標寫成

$P(D)=\sum _{|\alpha |\le N}{a}_{\alpha }(x)D^{\alpha }$

分部積分：對有界定義域$\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$上的緊支集光滑函數，我們有

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(D^{\alpha }v)dx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}(D^{\alpha }u)vdx$

此公式用以定義分佈與弱導數。

文獻

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9