高度 (環論)

在交換代數中，一個環 $R$ 的理想 $I$ 的高度是包含於 $I$ 的素理想鏈長度之上確界。

素理想鏈及其長度的定義如下：設交換環 $R$ 中有 $n+1$ 個素理想 $P_0,\dots ,P_n$，使得

$P_0⊊P_1⊊\dots ⊊P_n$

則稱之為長度為 $n$ 的素理想鏈。若 $P_n\subset I$，則稱此鏈包含於 $I$。一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的

在代數幾何中，這可以詮釋為閉子概形 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R/I)\subset \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ 的餘維度。

在諾特環的情形，Krull 高度定理斷言：由 $n$ 個元素生成的理想其高度必 $\le n$。

文獻

• H. Matsumura, Commutative algebra. ISBN 0-8053-7026-9.