電磁應力-能量張量

Template:NoteTA 物理學中，電磁應力-能量張量是指由電磁場貢獻於應力-能量張量（又稱能量-動量張量）的部份。在自由空間中，以國際單位制之單位可表示成：

$T^{\alpha \beta }=\frac{1}{{\mu }_o}[-F^{\alpha \gamma }{F}_{\gamma }{}^{\beta }-\frac{1}{4}{g}^{\alpha \beta }{F}_{\gamma \delta }{F}^{\gamma \delta }]$.

若以明顯的矩陣形式，可寫為：

$T^{\alpha \beta }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}({ϵ}_o{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)& S_x& S_y& S_z\\ S_x& -{\sigma }_{xx}& -{\sigma }_{xy}& -{\sigma }_{xz}\\ S_y& -{\sigma }_{yx}& -{\sigma }_{yy}& -{\sigma }_{yz}\\ S_z& -{\sigma }_{zx}& -{\sigma }_{zy}& -{\sigma }_{zz}\end{array}\right]$,

其中

坡印廷向量 $\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\mu }_o}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$,

電磁場張量 $F_{\alpha \beta }$,

度規張量 $g_{\alpha \beta }$，以及

馬克士威應力張量 ${\sigma }_{ij}={ϵ}_o{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}\left({ϵ}_o{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2\right){\delta }_{ij}$.

注意到$c^2=\frac{1}{{ϵ}_o{\mu }_0}$，而c是真空中光速。

若以cgs制單位表示，我們可以很簡單地用$\frac{1}{4\pi }$取代${ϵ}_o$，以及用$4\pi$取代${\mu }_o$:

$T^{\alpha \beta }=\frac{1}{4\pi }[-F^{\alpha \gamma }{F}_{\gamma }{}^{\beta }-\frac{1}{4}{g}^{\alpha \beta }{F}_{\gamma \delta }{F}^{\gamma \delta }]$.

若以明顯的矩陣形式，可寫為：

$T^{\alpha \beta }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)& S_x/c& S_y/c& S_z/c\\ S_x/c& -{\sigma }_{xx}& -{\sigma }_{xy}& -{\sigma }_{xz}\\ S_y/c& -{\sigma }_{yx}& -{\sigma }_{yy}& -{\sigma }_{yz}\\ S_z/c& -{\sigma }_{zx}& -{\sigma }_{zy}& -{\sigma }_{zz}\end{array}\right]$

其中，坡印廷向量變成如下形式：

$\overrightarrow{S}=\frac{c}{4\pi }\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$.

介電材料中的電磁應力-能量張量則較不為人所了解，並且其為未解決的Template:Tsl的主題。 (however see Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007))

能量-動量張量的其中元素（或說分量）$T^{\alpha \beta }$代表了電磁場的四維動量，其第α個分量——$P^{\alpha }$通過一超平面(hyperplane)「x^β = 常數」之通量(flux)。其代表了電磁場這個物理客體所帶有的能量、動量及應力，對於重力場（時空曲率）會有怎樣的重力場源貢獻。這些課題出現在廣義相對論中。

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