賦環空間

賦環空間 （ringed space） 在數學上係指一個拓撲空間配上一個交換環層，其中特別重要的一類是局部賦環空間。此概念在現代的代數幾何學佔重要角色。

定義

• 一個賦環空間是一組資料$(X,{𝒪}_X)$，其中$X$為一拓撲空間而${𝒪}_X$是其上的交換環層。
• 若${𝒪}_X$在每一點的莖都是局部環，則稱之局部賦環空間。

全體賦環空間構成一個範疇，$(X,{𝒪}_X)$到$(Y,{𝒪}_Y)$的態射是一組$(f,f^{\mathrm{♯}})$，其中$f:X\to Y$是連續映射，$f^{\mathrm{♯}}:{𝒪}_Y\to f_{*}{𝒪}_X$是環層的態射（ $f_{*}{𝒪}_X$定義為$V\mapsto {𝒪}_X(f^{-1}(V))$）。

局部賦環空間亦成一範疇，其態射除上述要求外，還須滿足：對每一點$x\in X$，$f^{\mathrm{♯}}$在莖上誘導的自然態射$f_x^{\mathrm{♯}}:{𝒪}_{Y,f(x)}\to {𝒪}_{X,x}$必須是局部的（若$(A,𝔪),(B,𝔫)$是局部環，環同態$\varphi :A\to B$滿足${\varphi }^{-1}(𝔪)=𝔫$，則稱φ為局部的）。

例子

• 設$X$為任一拓撲空間，${𝒪}_X:U\mapsto C(U)$（$C(U)$表 U 上的連續函數），則$(X,{𝒪}_X)$ 成一局部賦環空間：${𝒪}_{X,x}$的唯一極大理想由在$x$消沒的函數構成。拓撲空間之間的連續映射誘導出局部賦環空間的態射，反之亦然。
• 上述例子中的$X$可代以微分流形或複流形，並將${𝒪}_X(U)$代以$U$上的光滑函數或全純函數。
• 交換環譜$(\mathrm{A},{𝒪}_A)$。給定環同態$\varphi :A\to B$，φ誘導出局部賦環空間的態射$(f,f^{\mathrm{♯}})$；反之任一態射皆由環同態給出。

為了刻劃這些態射，局部的條件在此不可或缺，它可被視為$X$與${𝒪}_X$之間的聯繫；例如，若不要求局部性，則交換環譜的態射不一定由環同態給出——儘管從古典角度看這是必然的。