一致连续

Template:NoteTA -{zh:一致連續;zh-hans:一致连续;zh-hant:均勻連續}-又稱-{zh:均勻連續;zh-cn:均匀连续; zh-tw:一致連續}-，（Template:Lang-en），為數學分析的專有名詞，大致來講是描述對於函數 $f (\cdot)$ 我們只要在定義域中讓任意兩點 $x$ 跟 $y$ 越來越接近，我們就可以讓 $f (x)$ 跟 $f (y)$ 無限靠近，這跟一般的連續函數不同之處在於： $f (x)$ 跟 $f (y)$ 之間的距離並不依賴 $x$ 跟 $y$ 的位置選擇。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定義

设 $(X, d_{1})$ 和 $(Y, d_{2})$ 皆是度量空间，我們說函数 $f : X \to Y$ 一致连续，這代表對任意的 $ϵ > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使得定義域中任意兩點 $x, y$ 只要 $d_{1} (x, y) < δ$ ，就有 $d_{2} (f (x), f (y)) < ϵ$ 。

当 $X$ 和 $Y$ 都是實數的子集合， $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 為絕對值 $| \cdot |$ 时，一致连续的定义可表述为：如果对任意的 $ϵ > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使得对任意兩點 $| x - y | < δ$ ，都有 $| f (x) - f (y) | < ϵ$ ，则稱函數 $f$ 在 $X$ 上一致连续。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於：在均勻連續定義中，正數 $δ$ 的選擇只依賴 $ϵ$ 這變數，而不依賴定義域上點的位置。

一致连续性定理

定理：

一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的。

证明：

设函数 $f : X \to Y$ ， $(X, d_{1})$ 为紧致度量空间， $(Y, d_{2})$ 为度量空间。

假设 $f$ 不是一致连续的，則存在一個 $ϵ > 0$ ，对于任意 $n$ 都存在 $x_{n}, y_{n}$ 满足条件 $d_{1} (x_{n}, y_{n}) < \frac{1}{n}$ 并且 $d_{2} (f (x_{n}), f (y_{n})) \geq ϵ$ 。

因为 $X$ 为紧致度量空间， $X$ 是序列紧致的，所以存在一个 $(x_{n})$ 的收敛子序列 $(x_{k_{n}})$ ，设其收敛到 $x$ 。

$d_{1} (x_{k_{n}}, y_{k_{n}}) < \frac{1}{k_{n}} \leq \frac{1}{n} \to 0$ ，所以 $(y_{k_{n}}) \to x$ 。

因为 $f$ 连续， $ϵ \leq d_{2} (f (x_{k_{n}}), f (y_{k_{n}})) \to d_{2} (f (x), f (x)) = 0$ ，矛盾，定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下，连续不意味着一致连续。

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