范德蒙矩陣

在線性代數中，范德蒙矩陣的命名來自亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙的名字，范德蒙矩陣是一個各列呈現出幾何級數關係的矩陣，例如：

$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {\alpha }_1^2& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_m& {\alpha }_m^2& \dots & {\alpha }_m^{n-1}\end{array}\right]$

或以第Template:Mvar行第Template:Mvar列的關係寫作：

$V_{i,j}={\alpha }_i^{j-1}$

（部分作者將上述矩陣寫成轉置後的形式，也就是一整排的 1 不列在左邊，而是列在上面。）

n階范德蒙矩陣為方塊矩陣，其行列式可以表示為：

$\det (V)=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$

$\det (V)$不為零當且僅當${\alpha }_i$各不相同。

上述行列式又稱作判別式。

以行列式的萊布尼茨公式表示

$\det (V)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma ){\alpha }_1^{\sigma (1)-1}\cdots {\alpha }_n^{\sigma (n)-1},$

可以把公式改寫為

$\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma ){\alpha }_1^{\sigma (1)-1}\cdots {\alpha }_n^{\sigma (n)-1},$

S_n 指的是 {1, 2, ..., n} 的排列集，sgn(σ) 指的是排列 σ 的奇偶性。

若 m≤n，則矩陣 V 有最大的秩 rank (m)。

參閱

• 拉格朗日多項式
• 朗斯基行列式