西爾維斯特數列

西爾維斯特數列的定義為$s_n=1+\prod _{i=0}^{n-1}{s}_i$。當$n=0$，由於空積（一個空集內所有元素的積）是$1$，所以$s_0=2$，之後是$3,7,43,1807,3263443,10650056950807,113423713055421844361000443...$（OEIS:A000058）

這亦可以用遞歸定義：$s_i=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,s_0=2$。

以數學歸納法可證明$\sum _{i=0}^{j-1}\frac{1}{s_i}=\frac{s_j-2}{s_j-1}$。

「求$k$個埃及分數，使它們之和最接近$1$而又小於$1$。」答案就是這數列中首$k$個數的倒數之和。[1]因此，西爾維斯特數列又可以貪婪算法來定義：每步選取的一個分母，使得對應的埃及分數再加上之前的和最接近1而又少於1。

西爾維斯特數列可以表示為$s_n=\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac{1}{2}\rfloor$，其中E約為1.264。這和費馬數很相似。

這數列以詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特命名。

和為有理數且快速增長的唯一性

若有數列 $a_n\ge a_{n-1}^2-a_{n-1}+1$ 且 $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^k\frac{1}{a_i}\in \mathbb{Q}$，則必存在$N$使得對於$i>N$，$a_n=a_{n-1}^2-a_{n-1}+1$。

保羅·艾狄胥猜想上面的不等式可以改為更弱的條件$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{a_{n-1}^2}=1$。

質數

顯然兩個相異的西爾維斯特數必定互質。在首三百萬個質數只有1166個是西爾維斯特數列的因數。現時所知的西爾維斯特數中，都是無平方數因數的數，但未有證明所有西爾維斯特數都是。西爾維斯特數的質因數在質數集的密度為0。[2]