外尔特征标公式

外尔特徵標公式（Weyl's character formula) 描述緊李羣不可約表示的特徵標。其名來自證明者赫尔曼·外尔。

定義：羣G的表示r的特徵標為一函數 $\chi :G\to C$，$\chi (g):=Tr(r(g))$，其中Tr 為線性算子之迹。 （由彼得-外尔定理 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的；故迹之定義為線性代數中之定義。）

特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外尔特徵標公式用羣G的其他資料來表達 χ 。 本文考慮複表示，不失一般亦設其為酉表示，因而「不可約」亦等價於「不可分解」（即非二子表示之直和）。

公式

緊李羣G 之不可約表示之特徵標符合下式：

$\frac{\sum _{w\in W}(-1{)}^{\det (w)}w(e^{\lambda +\rho })}{e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}$

其中

• ρ 為羣G 之外尔向量，即各正根之和之半；
• W 為 外尔羣；
• λ 為不可約表示之 最高權；
• α 遍歴G之每一正根。

外尔分母公式

在 1 維表示的特例中，特徵標為 1, 而外尔特徵標公式簡化成 外尔分母公式：

$\sum _{w\in W}(-1{)}^{\det (w)}w(e^{\rho })=e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha }).$

若G為特殊么正羣，則簡化成范德蒙行列式的等式：

$\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma ){\alpha }_1^{\sigma (1)-1}\cdots {\alpha }_n^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$。

外尔維度公式

若只考慮單位元1之迹，則外尔特徵標公式 特殊化成 外尔維數公式

$\dim (V_{\mathrm{\Lambda }})=\frac{\prod _{\alpha >0}(\mathrm{\Lambda }+\rho ,\alpha )}{\prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}$,

$\dim (V_{\mathrm{\Lambda }})=\frac{\prod _{\alpha >0}(\mathrm{\Lambda }+\rho ,\alpha )}{\prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}$

其中

• V_Λ為有限維表示，其最高權為Λ；
• ρ為外尔向量，
• α 遍歴所有正根。

由於式中分子與分母俱為高階零，故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。

Freudenthal 公式

Hans Freudenthal發現了Template:Le符合之一遞歸公式。此公式等價於外尔特徵標公式，而在某些情況下更簡便。式曰：

$((\mathrm{\Lambda }+\rho {)}^2-(\lambda +\rho {)}^2)\dim V_{\lambda }=2\sum _{\alpha >0}\sum _{j\ge 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )\dim V_{\lambda +j\alpha }$；

其中

• Λ 為一最高權，
• λ 為另一權，
• dim V_λ 為權λ 之重數，
• ρ 為外尔向量，
• 外和中之 α 歴遍所有正根。

外尔-Kac 特徵標公式

外尔特徵標公式 亦適用於卡茨-穆迪代数之可積最高權表示 ——外尔-Kac 特特徵標公式。同樣地，分母恆等式亦可推廣至卡茨-穆迪代数，其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式。其在 A₁ 仿射李代數之例成為經典的 雅可比三重乘積恆等式：

$\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2m})(1-x^{2m-1}y)(1-x^{2m-1}{y}^{-1})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^{n^2}{y}^n.$

此特徵公式可推廣至广义卡茨-穆迪代数之可積最高權表示：

$\frac{\sum _{w\in W}(-1{)}^{\det (w)}w(e^{\lambda +\rho }S)}{e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}$

其中 S 為一修正項：

$S=\sum _I(-1{)}^{|I|}{e}^{\mathrm{\Sigma }I}$

其中 I歴遍虚簡單根集內 所有與最高權$\lambda$ 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基數，而 ΣI為集 I 內元素之和。

而Monster 李代數之 分母公式 則為Template:Lej之積公式：

$j(p)-j(q)=(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})\prod _{n,m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p^n{q}^m{)}^{c_{nm}}$。

Peterson 發現了（廣義）Template:Le卡茨-穆迪代数之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於外尔-卡茨分母公式，但更便於計算：

$(\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }{c}_{\delta }$,

其中γ 與 δ 遍歴所有正根，而

$c_{\beta }=\sum _{n\ge 1}\frac{\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}(\beta /n)}{n}$。

參攷

• Infinite dimensional Lie algebras, V. G. Kac, ISBN 0-521-37215-1
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