协方差

在機率論與統計學中，共變異數（Template:Lang-en）用於衡量随机变量間的相關程度。 Template:各地漢字名

兩變數X與Y在3種不同的共變異數情況下的關係

定義

根據測度積分的線性性質，上面的原始定義可以進一步簡化為：

$\begin{array}{cc}\mathrm{cov}(X,Y)& =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(X-\mu )(Y-\nu )dP\\ & =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }X\cdot YdP-\mu \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }YdP-\nu \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }XdP+\mu \nu \\ & =\mathrm{E}(X\cdot Y)-\mu \nu \end{array}$

协方差矩阵

协方差的定義可以推廣到兩列隨機變數之間

以上的定義，以矩形來表示就是：

$𝐜𝐨𝐯(X,Y):=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{cov}(x_1,y_1)& \dots & \mathrm{cov}(x_1,y_n)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{cov}(x_m,y_1)& \dots & \mathrm{cov}(x_m,y_n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{E}(x_1{y}_1)-{\mu }_1{\nu }_1& \dots & \mathrm{E}(x_1{y}_n)-{\mu }_1{\nu }_n\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{E}(x_m{y}_1)-{\mu }_m{\nu }_1& \dots & \mathrm{E}(x_m{y}_n)-{\mu }_m{\nu }_n\end{array}\right]$

性質

計算性質

如果$X$与$Y$是实数随机变量，$a$与$b$是常数，那么根据协方差的定义可以得到：

$\mathrm{cov}(X,X)=\mathrm{var}(X)$，

$\mathrm{cov}(X,Y)=\mathrm{cov}(Y,X)$，

$\mathrm{cov}(aX,bY)=ab\mathrm{cov}(X,Y)$，

对于随机变量序列$X_1,\dots ,X_n$与$Y_1,\dots ,Y_m$，有

$\mathrm{cov}(\sum _{i=1}^n{X}_i,\sum _{j=1}^m{Y}_j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\mathrm{cov}(X_i,Y_j)$，

对于随机变量序列$X_1,\dots ,X_n$，有

$\mathrm{var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mathrm{var}(X_i)+2\sum _{i,j:i<j}\mathrm{cov}(X_i,X_j)$。

相關係數

Template:Main取决于协方差的相关性$\eta$

$\eta =\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{var}(X)\cdot \mathrm{var}(Y)}},$

更准确地说是线性相关性，是一个衡量线性独立的无量纲数，其取值在$[-1,1]$之间。相关性$\eta =1$时称为“完全线性相关”（相关性$\eta =-1$时称为“完全线性负相关”），此时将$Y_i$对$X_i$作Y-X 散点图，将得到一组精确排列在直线上的点；相关性数值介于－1到1之间时，其绝对值越接近1表明线性相关性越好，作散点图得到的点的排布越接近一条直线。

相关性为0（因而协方差也为0）的两个随机变量又被称为是不相关的，或者更准确地说叫作“线性无关”、“线性不相关”，这仅仅表明$X$与$Y$两随机变量之间没有线性相关性，并非表示它们之间一定没有任何内在的（非线性）函数关系，和前面所说的“$X$、$Y$二者并不一定是统计独立的”说法一致。

参见

• 變異數
• 自协方差
• 协方差矩阵
• 协方差函数
• 误差传播