三角形函数

三角形函數

三角形函数定义为：

$\mathrm{tri}(t)=\mathrm{\Lambda }(t)=\{\begin{array}{cc}1-|t|,& |t|<1\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

或者定义为两个相同的单位矩形函数的卷积：

$\mathrm{tri}(t)=\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)$

在信号处理以及通信系统工程领域三角形函数是一个非常有用的理想信号表示，也是用于导出其它理想信号的原型信号。在脉冲编码调制中作为数字信号传输的脉冲波形以及信号接收时作为匹配滤波器使用。另外，它也等同于叫作Bartlett window的三角形窗。

三角形函数的傅里叶变换，

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\text{tri}(t)e^{-i\omega t}dt$	$=\sqrt{2\pi }{\left(\frac{\text{sinc}(\frac{\omega }{2\pi })}{\sqrt{2\pi }}\right)}^2$
	$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot {\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2\left(\frac{\omega }{2\pi }\right)$

或用归一化Sinc函数表示为：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2(f)$

这些结果都符合矩形函数的循傅里叶变换以及傅里叶变换的卷积特性。

参见

• 帐篷映射
• 矩形函数