F-分布

在概率论和统计学裡，F-分布（F-distribution）是一种连续概率分布，^[1]^[2]^[3]^[4]被广泛应用于似然比率检验，特别是ANOVA中。

定义

如果随机变量 X 有参数为 d₁ 和 d₂ 的 F-分布，我们写作 X ~ F(d₁, d₂)。那么对于实数 x ≥ 0，X 的概率密度函数 (pdf)是

\begin{matrix} f (x; d_{1}, d_{2}) & = \frac{\sqrt{\frac{(d_{1} x)^{d_{1}} d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1} x + d_{2})^{d_{1} + d_{2}}}}}{x B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} \\ = \frac{1}{B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} {(\frac{d_{1}}{d_{2}})}^{\frac{d_{1}}{2}} x^{\frac{d_{1}}{2} - 1} {(1 + \frac{d_{1}}{d_{2}} x)}^{- \frac{d_{1} + d_{2}}{2}} \end{matrix}

这里 $B$ 是B函数。在很多应用中，参数 d₁ 和 d₂ 是正整数，但对于这些参数为正实数时也有定义。

F (x; d_{1}, d_{2}) = I_{\frac{d_{1} x}{d_{1} x + d_{2}}} (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2}),

右边表格中已给出期望值、方差和偏度；对于 $d_{2} > 8$ ，峰度为：

γ_{2} = 12 \frac{d_{1} (5 d_{2} - 22) (d_{1} + d_{2} - 2) + (d_{2} - 4) (d_{2} - 2)^{2}}{d_{1} (d_{2} - 6) (d_{2} - 8) (d_{1} + d_{2} - 2)}

.

一个F-分布的随机变量是两个卡方分佈变量除以自由度的比率：

\frac{U_{1} / d_{1}}{U_{2} / d_{2}} = \frac{U_{1} / U_{2}}{d_{1} / d_{2}}

其中：