杨氏不等式

在数学上，楊氏不等式，指出：假设 $a$ , $b$ , $p$ 和 $q$ 是正实数，且有 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ，那么：

a b \leq \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q} .

等号成立当且仅当

a^{p} = b^{q}

，因为这时

a b = a (b^{q})^{\frac{1}{q}} = a a^{\frac{p}{q}} = a^{p} = \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}

。

楊氏不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，也是证明赫爾德不等式的一个快捷方法。该不等式以Template:Le命名。

证明

我们知道函数 $f (x) = e^{x}$ 是一个凸函数，因为它的二阶导数恒为正。从而我们有：

a b = e^{\ln (a)} e^{\ln (b)} = e^{\frac{1}{p} \ln (a^{p}) + \frac{1}{q} \ln (b^{q})} \leq \frac{1}{p} e^{\ln (a^{p})} + \frac{1}{q} e^{\ln (b^{q})} = \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}

这里我们使用了凸函数的一个性质：对任意 $t$ ，若 $0 < t < 1$ ，则有：

f (t x + (1 - t) y) \leq t f (x) + (1 - t) f (y)

设 $ϕ : ℝ \to ℝ$ 是一个连续、严格递增函数且 $ϕ (0) = 0$ 。那么下面的不等式成立：

a b \leq \int_{0}^{a} ϕ (x) d x + \int_{0}^{b} ϕ^{- 1} (y) d y

观察 $ϕ (x)$ 的图形，很容易看出这个不等式的一个直观证明：以上两个积分式所表示的区域之和比由 $a$ 和 $b$ 组成的矩形的面积大。