打靶法

打靶法（Template:Lang-en）是数值分析中在求解边界值问题時，将解归约为求解數個初值问题的方法。下面的讨论在打靶法的解释中有详细注释。

对于一个二阶常微分方程的边界值问题，该方法表述如下： 令

$y^{″}(t)=f(t,y(t),y^{\prime }(t)),y(t_0)=y_0,y(t_1)=y_1$

为边界值问题。 令 y(t₁; a) 代表下列初值问题的一个解

$y^{″}(t)=f(t,y(t),y^{\prime }(t)),y(t_0)=y_0,y^{\prime }(t_0)=a$

定义函数F(a)为y(t₁; a)和给定边界值y₁的差

$F(a)=y(t_1;a)-y_1$

若边界值问题有解，则F有一个根，而这个根就是y'(t₀)的给出边界问题解y(t)的取值。

上述問題的求解可以采用通常的求根方法，例如二分法或者牛顿法。

线性打靶法

边界值问题是线性的，若f形为

$f(t,y(t),y^{\prime }(t))=p(t)y^{\prime }(t)+q(t)y(t)+r(t).$

这个情况下，边界值问题的解通常给出为

$y(t)=y_{(1)}(t)+\frac{y_1-y_{(1)}(t_1)}{y_{(2)}(t_1)}{y}_{(2)}(t)$

其中$y_{(1)}(t)$是下面的初值问题的一个解

$y^{″}(t)=f(t,y(t),y^{\prime }(t)),y(t_0)=y_0,y^{\prime }(t_0)=0,$

而$y_{(2)}(t)$是下面的初值问题的解：

$y^{″}(t)=p(t)y^{\prime }(t)+q(t)y(t),y(t_0)=0,y^{\prime }(t_0)=1.$

结果成立的精确条件请参看证明。

例子

Stoer及Burlisch曾提出一個如下的边界值问题（Section 7.3.1）

$w^{″}(t)=\frac{3}{2}{w}^2,w(0)=4,w(1)=1$

以下的初值問題

$w^{″}(t)=\frac{3}{2}{w}^2,w(0)=4,w^{\prime }(0)=s$

在s = −1, −2, −3, ..., −100等條件下求解，且令F(s) = w(1;s) − 1，其圖形繪製在第一圖中，根據圖中可知，其解接近−8及−36。 第二圖繪出一些w(t;s)的軌跡。

初值問題的解是由LSODE演算法計算，利用數學軟體GNU Octave實現。

Stoer及Bulirsch列出有二個解，可以用代數法求解。 對應初始條件約w′(0) = −8及 and w′(0) = −35.9時的值。

F(s) = w(1;s) − 1.

w(t;s)的軌跡，s = w'(0)等於−7, −8, −10, −36及−40（顏色分別是紅、綠、藍、淺藍、洋紅），(1,1)有繪製一紅色的菱形。

参考

• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 7.3.)