欧拉方程 (刚体运动)

在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化，因为我们现在可以将角动量的变化分成分别描述$𝐋$的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

这些方程是:

${\left(\frac{d𝐋}{dt}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}+\mathit{\omega }\times 𝐋=\frac{d𝐋}{dt}=𝐍$

其中$𝐋$是角动量在体坐标系中的表达，${\left(\frac{d𝐋}{dt}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$是物体角动量相对于体坐标系的变化， $\mathit{\omega }$是在体坐标系中的角速度，而$𝐍$是外力矩。

证明

${\left(\frac{d𝐋}{dt}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}+\mathit{\omega }\times 𝐋=\left(I\frac{d\mathit{\omega }}{dt}\right)+\mathbf{(}\omega )\times I\mathit{\omega }=I\frac{d\mathit{\omega }}{dt}+\frac{dI}{dt}\mathit{\omega }=\frac{d𝐋}{dt}=𝐍$

分量形式

采用主轴坐标，I对角化，则$𝐋$分量形式为$I_1{\omega }_1{𝐞}_1+I_2{\omega }_2{𝐞}_2+I_3{\omega }_3{𝐞}_3$。从而，欧拉方程变为如下分量形式

$\begin{array}{ccc}{N}_1& =& I_1{\dot{\omega }}_1+(I_3-I_2){\omega }_2{\omega }_3\\ N_2& =& I_2{\dot{\omega }}_2+(I_1-I_3){\omega }_3{\omega }_1\\ N_3& =& I_3{\dot{\omega }}_3+(I_2-I_1){\omega }_1{\omega }_2\end{array}$

应用

方程左边为0时，还是有非平凡解：无力矩进动。

该方程也可以使用在坐标轴不在物体上的场合，${\left(\frac{d𝐋}{dt}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}$不再连接到物体本身。$\mathit{\omega }$是围绕固定坐标轴的转动而不是物体本身的转动。但是，所选的轴必须还是主轴，因为它是对角化的必要条件。这个形式的欧拉方程对于有旋转对称性的物体很有用，因为有些主轴的选取是自由的。

參閱

• Poinsot构造
• 歐拉運動定律