ARCH模型

Template:NoteTA ARCH模型（Template:Lang-en，全称：自我迴歸條件異質變異數模型），解决了传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设（變異數恆定）所引起的问题。这个模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。

起源

传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设：假定时间序列变量的波动幅度（方差）是固定的，不符合实际，比如，人们早就发现股票收益的波动幅度是随时间而变化的，并非常数。这使得传统的时间序列分析对实际问题并不有效。

罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中提出了ARCH模型解决了时间序列的波动性（volatility）问题，当时他研究的是英国通货膨胀率的波动性。

以 $ε_{t}$ 表示收益或者收益残差，假设 $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ ，此处 $z_{t} \sim i i d N (0, 1)$ （即独立同分布，均符合期望为0，方差为1的正态分布）此处序列 $σ_{t}^{2}$ 建模为

σ_{t}^{2} = α_{0} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + \dots + α_{p} ε_{t - p}^{2}

（其中 $α_{0} > 0, α_{i} \geq 0, i > 0$ ，即各期收益以非负数线性组合，常数项为正数。

如果變異數用ARMA模型來表示，则ARCH模型的变形为GARCH模型（波勒斯勒夫（Bollerslev），1986年）。

GARCH（p，q）模型为

σ_{t}^{2} = α_{0} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + \dots + α_{q} ε_{t - q}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{p} σ_{t - p}^{2}

IGARCH模型对GARCH的参数做了限制。IGARCH（p，q）模型可以表示为：

σ_{t}^{2} = α_{0} + \sum_{i = 1}^{p} α_{i} ϵ_{t - i}^{2} + \sum_{i = 1}^{q} β_{i} σ_{t - i}^{2}

条件是：

\sum_{i = 1}^{p} α_{i} + \sum_{i = 1}^{q} β_{i} = 1

GARCH-M模型把异方差项引入平均数方程式。一个简单的GARCH-M（1，1）模型可以表示为：

y_{t} = γ x_{t} + ϕ σ_{t - 1} + ϵ_{t}

σ_{t}^{2} = α_{0} + α_{1} ϵ_{t - 1}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2}

残差项 $ϵ_{t}$ 定义为：

ϵ_{t} \sim N (0, σ_{t}^{2})

ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（Value at Risk）理论中，在华尔街是人尽皆知的工具。