高斯散度定理

Template:Otheruses Template:Refimprove Template:NoteTA Template:微積分學 高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法。

定理

区域Template:Mvar，以带有法线Template:Mvar的面Template:Math为边界。

散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面；散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域，函数$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在$\mathrm{\Omega }$上具有一阶连续偏导数，则有

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}v=$$\text{∯}$$\mathrm{\Sigma }$$P\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$

或

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}v=$$\text{∯}$$\mathrm{\Sigma }$$(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}S$

这里$\mathrm{\Sigma }$是$\mathrm{\Omega }$的边界（boundary），$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$是$\mathrm{\Sigma }$在点$(x,y,z)$处的單位法向量的方向余弦。

这两个公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 $\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }(P,Q,R)\cdot 𝐧\mathrm{d}S$，其中 $𝐧$ 是曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的向外單位法向量。

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

用散度表示

高斯公式用散度表示为：

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐅\mathrm{d}v=$$\text{∯}$$\mathrm{\Sigma }$$𝐅\cdot 𝐧\mathrm{d}S.$

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 $𝐧$ 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示

令V代表有一简单闭曲面S为边界的体积，$𝐅$是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果$d𝐒$是外法向向量面元，则

$\underset{S}{\int }𝐅\cdot \mathrm{d}𝐒=\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅\mathrm{d}V$

推论

• 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：

$\underset{V}{\iiint }(𝐅\cdot \left(\mathrm{\nabla }g\right)+g(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅))\mathrm{d}V=\underset{\partial V}{\iint }g𝐅\cdot \mathrm{d}𝐒$

• 对于两个向量场$𝐅\times 𝐆$的向量积，应用高斯公式可得：

$\underset{V}{\iiint }(𝐆\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)-𝐅\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐆))\mathrm{d}V=\underset{\partial V}{\iint }(𝐅\times 𝐆)\cdot \mathrm{d}𝐒$

• 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

$\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }f\mathrm{d}V=\underset{\partial V}{\iint }f\mathrm{d}𝐒$

• 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

$\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\mathrm{d}V=\underset{\partial V}{\iint }\mathrm{d}𝐒\times 𝐅.$

例子

例子所对应的向量场。注意，向量可能指向球面的内侧或者外侧。

假设我们想要计算

$\text{∯}$$S$$𝐅\cdot 𝐧\mathrm{d}S,$

其中Template:Mvar是一个单位球面，定义为

$S=\{x,y,z\in {ℝ}^3:x^2+y^2+z^2=1\}.$

F是向量场

$𝐅=2x𝐢+y^2𝐣+z^2𝐤.$

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

$\underset{W}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)\mathrm{d}V=2\underset{W}{\iiint }(1+y+z)\mathrm{d}V=2\underset{W}{\iiint }\mathrm{d}V+2\underset{W}{\iiint }y\mathrm{d}V+2\underset{W}{\iiint }z\mathrm{d}V.$

其中Template:Mvar是单位球:

$W=\{x,y,z\in {ℝ}^3:x^2+y^2+z^2\le 1\}.$

由于函数Template:Mvar和Template:Mvar是奇函数，我们有：

$\underset{W}{\iiint }y\mathrm{d}V=\underset{W}{\iiint }z\mathrm{d}V=0.$

因此：

$\text{∯}$$S$$𝐅\cdot 𝐧\mathrm{d}S=2\underset{W}{\iiint }\mathrm{d}V=\frac{8\pi }{3},$

因为单位球Template:Mvar的体积是Template:Math.

二阶张量的高斯公式

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

1. 两个向量$𝒂$和$𝒃$并排放在一起所形成的量$𝒂𝒃$被称为向量$𝒂$和$𝒃$的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，$𝒂𝒃\ne 𝒃𝒂$。
2. $𝒂𝒃=0$的充分必要条件是$𝒂=0$或$𝒃=0$。
3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
4. $𝒂𝒃$分别线性地依赖于$𝒂$和$𝒃$。
5. 二阶张量$𝐓$和向量$𝒂$的縮併$𝐓\cdot 𝒂$以及$𝒂\cdot 𝐓$对 $𝐓$和$𝒂$都是线性的。
6. 特别是，当$𝐓=𝒖𝒗$时，

$𝐓\cdot 𝒂=(𝒖𝒗)\cdot 𝒂=𝒖(𝒗\cdot 𝒂),𝒂\cdot 𝐓=𝒂\cdot (𝒖𝒗)=(𝒂\cdot 𝒖)𝒗,$

所以，一般说来，$𝐓\cdot 𝒂\ne 𝒂\cdot 𝐓$。

下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的縮併来重新写$(𝒂\times 𝒃)\times 𝒄$和$𝒂\times (𝒃\times 𝒄)$。

$(𝒂\times 𝒃)\times 𝒄=(𝒂\cdot 𝒄)𝒃-(𝒃\cdot 𝒄)𝒂=-(𝒂𝒃-𝒃𝒂)\cdot 𝒄,𝒂\times (𝒃\times 𝒄)=(𝒂\cdot 𝒄)𝒃-(𝒂\cdot 𝒃)𝒄=-𝒂\cdot (𝒃𝒄-𝒄𝒃).$

我们还用到二阶张量$𝐓$的转置${𝐓}^{\prime }$（又可以记为${𝐓}^{\mathrm{t}}$），定义如下：

1. ${𝐓}^{\prime }$仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于$𝐓$。
2. $(𝒖𝒗{)}^{\prime }=𝒗𝒖$。

定理：设 $V$是三维欧几里得空间中的一个有限区域，$S$是它的边界曲面，$\widehat{𝒏}$是$S$的外法线方向上的单位向量，$𝐓$是定义在$V$的某个开邻域上的$C^1$连续的二阶张量场，${𝐓}^{\prime }$是$𝐓$的转置，则

$\underset{S}{\iint }\widehat{𝒏}\cdot 𝐓\mathrm{d}S=\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐓\mathrm{d}V,\underset{S}{\iint }𝐓\cdot \widehat{𝒏}\mathrm{d}S=\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot {𝐓}^{\prime }\mathrm{d}V.$

证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为$𝑭$，则

${𝒆}_i\cdot 𝑭={𝒆}_i\cdot \underset{S}{\iint }𝐓\cdot \widehat{𝒏}\mathrm{d}S=\underset{S}{\iint }{𝒆}_i\cdot 𝐓\cdot \widehat{𝒏}\mathrm{d}S=\underset{S}{\iint }{T}^{ij}{𝒆}_j\cdot \widehat{𝒏}\mathrm{d}S.$

接下来利用向量场的高斯公式，可得

${𝒆}_i\cdot 𝑭=\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot (T^{ij}{𝒆}_j)\mathrm{d}V=\underset{V}{\iiint }\frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j}\mathrm{d}V,$

于是

$𝑭={𝒆}_i({𝒆}_i\cdot 𝑭)={𝒆}_i\underset{V}{\iiint }\frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j}\mathrm{d}V=\underset{V}{\iiint }{𝒆}_i\frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j}\mathrm{d}V=\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot {𝐓}^{\prime }\mathrm{d}V.$

至此证毕。

参阅

• 格林定理
• 斯托克斯定理