塑膠數

{{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }} 塑膠數或銀數是一元三次方程 $x^3=x+1$ 的唯一一個實數根，其值為

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}$

約等於$1.3247179572447460259609$ Template:OEIS。

塑膠數對於佩蘭數列和巴都萬數列，就如黃金分割對於斐波那契數列——是兩項的比的極限。它亦是最小的皮索數。

塑膠數的來源

塑膠數是方程$x^3=x+1$的唯一實數根。

對於方程$x^3=x+1$，現將等式右邊變為0，即

$x^3-x-1=0$

由勘根定理可判斷出該實根大小介於1與2之間，設

$x=\frac{\lambda }{y}+y$，

則

$y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{x^2-4\lambda }$

得到

$-1-y-\frac{\lambda }{y}+{(y+\frac{\lambda }{y})}^3=0$

等式兩邊同時乘 $y^3$ 得

$y^6+y^4(3\lambda -1)-y^3+y^2(3{\lambda }^2-\lambda )+{\lambda }^3=0$

令$\lambda =\frac{1}{3}$，將其帶入上面方程，并設$z=y^3$，得到一個$z$的二次方程

$z^2-z+\frac{1}{27}=0$

解得

$z=\frac{1}{18}(9+\sqrt{69})$

根據$z=y^3$，得

$y^3=\frac{1}{18}(9+\sqrt{69})$

則$y$有實數解

$y=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}$

根據$y$与$\lambda$的關係，得$y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{x^2-\frac{4}{3}}$，得$x$的實數解

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}$