中点法

中點法的圖示說明，假設$y_n$等於$y(t_n)$的實際值。中點法計算$y_{n+1}$讓紅色的弦近似平行於中點處的切線（綠色）

数值分析裡的中点法（midpoint method）是求解常微分方程的一種数值方法，屬於單步法。

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0.$

上式的顯式中點法為 Template:NumBlk 隱式中點法為 Template:NumBlk $n=0,1,2,\dots$。此處$h$是步階長度，是一個小的正數，$t_n=t_0+nh,$，而$y_n$是計算$y(t_n)$的近似值。顯式中點法也稱為是改良的歐拉方法（modified Euler method），隱式中點式是最簡單的Template:Link-en（Collocation method），可用在哈密頓力學，也就是Template:Link-en。

此方法的名稱是因為上述公式會用到函數在$t=t_n+h/2=\frac{t_n+t_{n+1}}{2}$位置的值，也就是在$t_n$以及$t_{n+1}$中點時的值，前者的值已知，後者的值未知，在計算中點的值時，也需要有一些假設，才能進行計算。

配合圖示（見右圖）會比較容易理解此一方法。在原始的欧拉方法裡，會用$f(t_n,y_n)$，計算曲線在$(t_n,y_n)$處的切線。此切線和垂直線$t=t_{n+1}$的交點即為下一個點$y_{n+1}$的值。不過，若此函數的二階導數在時間$t_n$和$t_{n+1}$的區間均為正, 或是均為負（如圖中的例子），隨著$h$加大，曲線和切線的距離會越來越遠，導致大誤差。圖中所畫的中點的切線（上方，綠線）比較可以近似這段曲線。不過因為要求解的就是此一曲線，時間$t_n$的資訊已知，其他資訊不足，可能無法精準的畫出中點處的切線。

因此，會先用原始的歐拉方法估計在中點的$y(t)$值，再用$f()$以及估計的中點資訊，計算切線斜率。用改善後的切線從$y_n$計算$y_{n+1}$的值。最後一步即為圖的紅色弦線。因為紅色弦線是估計值，用的是$y(t)$在中點處的估計值，不一定真的會和綠線（真正的中點切線）平行，仍會有誤差。

中點法每一步的局部誤差是$O\left(h^3\right)$，全域誤差是$O\left(h^2\right)$。其運算比歐拉方法要大，但在$h\to 0$的過程中，中點法的誤差會比歐拉方法降低的更快。

此法也是高階方法（如龙格-库塔法）的範例之一。

中點法的推導

微分方程$y^{\prime }=y,y(0)=1$的数值积分求解图。 Template:Legend Template:Legend Template:Legend 步长$h=1.0$。

同一個方程的數值方法求解，步长縮減為$h=0.25.$，可以看出中點法的收斂比歐拉法要快

中點法可以視為是改良版的欧拉方法

$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n),$

因此用類似的方式推導。 推導欧拉法的關鍵是以下的近似等式 Template:NumBlk 是源自以下的斜率公式 Template:NumBlk ，其中$y^{\prime }=f(t,y).$

在中點法中，將(3)改為更準確的式子

$y^{\prime }(t+\frac{h}{2})\approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}$

因此可以得到以下類似(3)式，計算$y(t+h)$的式子 Template:NumBlk

在上式中，因為還不知道$y$在$t+h/2$的值，無法用上式直接計算$y(t+h)$。解法是用欧拉方法來求解$y(t+h/2)$:

$y(t+\frac{h}{2})\approx y(t)+\frac{h}{2}{y}^{\prime }(t)=y(t)+\frac{h}{2}f(t,y(t)),$

代入(4)式中，可得

$y(t+h)\approx y(t)+hf(t+\frac{h}{2},y(t)+\frac{h}{2}f(t,y(t)))$

以上則是顯式的中點法(1e)。

隱式中點法(1i)可以將此時間內的波形假設為直線，中間步數$t+h/2$的值用$y(t)$和$y(t+h)$的平均值來表示

$y(t+\frac{h}{2})\approx \frac{1}{2}(y(t)+y(t+h))$

因此

$\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx y^{\prime }(t+\frac{h}{2})\approx k=f(t+\frac{h}{2},\frac{1}{2}(y(t)+y(t+h)\left)\right)$

因為隱式方法的時間對稱性，局部誤差中$h$的偶次項都消去了，局部誤差的階數是＼$𝒪(h^3)$。

相關條目

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參考資料

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