单参数酉群的斯通定理

在数学中，单参数酉群的斯通定理是泛函分析的一个基本定理，建立了希尔伯特空间 $\mathscr{H}$ 上强连续单参数酉群与该空间上的某个自伴算子的一一对应关系。具体来说，单参数酉群是指幺正算子构成的单参数族 $(U_t{)}_{t\in ℝ}$ ，且 $t\mapsto U_t$是一个连续群同態，所谓强连续是指

$\mathrm{\forall }{t}_0\in ℝ,\psi \in \mathscr{H}:\underset{t\to t_0}{\lim }{U}_t(\psi )=U_{t_0}(\psi ).$

该定理由Template:Harvard citations证明，而 Template:Harvard citations 表明，至少当希尔伯特空间是可分的， $(U_t{)}_{t\in ℝ}$ 的强连续性可以放宽为弱可测。

这是一个令人印象深刻的结果，因为它允许人们定义映射 $t\mapsto U_t$ 的导数，而该映射仅仅需要是连续的。它也与李群和李代数的理论有关。

正式表述

在定理的两个部分中，表达式 $e^{itA}$ 是通过博雷尔函数演算来定义的，它用到了无界自伴算子的谱定理。

无穷小生成元

上述定理中的算子 $A$ 被称为 $(U_t{)}_{t\in ℝ}$ 的无穷小生成元。此外， $A$ 有界当且仅当映射 $t\mapsto U_t$ 是范数连续的。

强连续酉群 $(U_t{)}_{t\in ℝ}$ 的无穷小生成元 $A$ 可以用下面的式子来计算：

$A\psi =-i\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{U_{\epsilon }\psi -\psi }{\epsilon },$

其中， $A$ 的定义域为由这些在范数拓扑中存在极限的向量 $\psi$ 组成。也就是说， $A$ 等于 $-i$ 乘以 $U_t$ 关于 $t$ 在 $t=0$ 处的导数。该定理的一部分内容就是该导数的存在性——即 $A$ 是一个稠密定义的自伴算子。这个结果即使在有限维情况下也不是显然的，因为 $U_t$ 仅被假设具有（关于时间的）连续性，而不必可微。

例子

平移算子族

$[T_t(\psi )](x)=\psi (x+t)$

是一个由酉算子构成的单参数酉群；其无穷小生成元是一个空间上的微分算子

$-i\frac{d}{dx}$

的一个Template:Le，该空间由 $ℝ$ 上连续可微的紧支撑复值函数构成。因此

$T_t=e^{t\frac{d}{dx}}.$

换句话说，直线上的运动是由动量算子生成的。

应用

斯通定理在量子力学中有着广泛的应用。例如，给定一个孤立的量子力学系统，其状态的希尔伯特空间为 $\mathscr{H}$ ，其时间演化则是 $\mathscr{H}$ 上的强连续单参数酉群。这个群的无穷小生成元即是系统的哈密顿算子。

基于傅里叶变换的表述

斯通定理可以用傅里叶变换的语言来重述。实轴 $ℝ$ 是一个局部紧阿贝尔群。Template:Le $C^{*}(ℝ)$ 的非退化*-表示与 $ℝ$ 的强连续幺正表示（即强连续的单参数酉群）一一对应。另一方面，傅里叶变换是 $C^{*}(ℝ)$ 到 $C_0(ℝ)$ 的*-同态，其中 $C_0(ℝ)$ 是实轴上的在无穷远处消失的连续复值函数所构成的C*-代数。因此，强连续单参数酉群与 $C_0(ℝ)$ 的*-表示之间存在一一对应关系。由于 $C_0(ℝ)$ 的每个*-表示唯一地对应于一个自伴算子，就得到了斯通定理。

因此，获得强连续单参数酉群的无穷小生成元的过程如下：

• 设 $(U_t{)}_{t\in ℝ}$ 是 $ℝ$ 在希尔伯特空间 $\mathscr{H}$ 上的强连续幺正表示。
• 积分此酉表示以产生 $C^{*}(ℝ)$ 在 $\mathscr{H}$ 上的非退化*-表示 $\rho$ 。即，先定义$$\mathrm{\forall }f\in C_c(ℝ):\rho (f):=\underset{ℝ}{\int }f(t)U_{t}dt,$$再将 $\rho$ 连续扩张到整个 $C^{*}(ℝ)$ 。
• 使用傅里叶变换获得 $C_0(ℝ)$ 在 $\mathscr{H}$ 上的非退化的 *-表示 $\tau$ 。
• 根据里斯-马尔可夫-角谷表示定理， $\tau$ 给出 $ℝ$ 上的一个投影值测度，而其是唯一的（可能无界的）自伴算子 $A$ 的单位分解。
• 于是， $A$ 就是 $(U_t{)}_{t\in ℝ}$ 的无穷小生成元。

$C^{*}(ℝ)$ 的精确定义如下。考虑 $ℝ$ 上的紧支撑连续复值函数，通过由卷积给出其乘法，其构成一个*-代数 $C_c(ℝ)$ 。这个 *-代数关于L1范数可完备化为一个巴拿赫*-代数，记作 $(L^1(ℝ),\star )$ 。于是 $C^{*}(ℝ)$ 就被定义为 $(L^1(ℝ),\star )$ 的包络$C^{*}$ -代数 ，即 $(L^1(ℝ),\star )$ 相对于最大的可能的C*-范数的完备化。一个非平凡的事实是，傅里叶变换是 $C^{*}(ℝ)$ 与 $C_0(ℝ)$ 间的一个同构。这个方向的一个结果是黎曼-勒贝格引理，它指出傅里叶变换将 $L^1(ℝ)$ 映射到 $C_0(ℝ)$ 。

推广

斯通-冯诺伊曼定理将斯通定理推广到满足正则对易关系的一对自伴算子 $(P,Q)$ 上，并证明它们都与 $L^2(ℝ)$ 上的位置算符和动量算符幺正等价。

Template:Le将斯通定理推广到巴拿赫空间上的强连续单参数压缩半群。

参考书目

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• K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968)