盖尔范德–奈马克–西格尔构造

在数学分支泛函分析中，对于给定的C*-代数 $𝒜$ ， Gelfand–Naimark–Segal 构造（简称GNS构造）在一个C*-代数的循环*-表示与该C*-代数上的某类线性泛函（称为态）之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造*-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃爾·蓋爾范德 、 Template:Le和Template:Le。

C*-代数的态与表示

C*-代数 $𝒜$ 在希尔伯特空间 $H$ 上的*-表示是 $𝒜$ 到 $B(H)$ 的 *-同态 $\pi$ ，其中 $B(H)$ 是 $H$ 上有界算子构成的代数。换句话说，$\pi$ 是将 $𝒜$ 上的对合映为 $B(H)$ 上的对合的代數同態。

下文提及 *-表示时，将默认讨论的是非退化的*-表示。也就是说线性生成空间 $\pi (𝒜)H$ 是 $H$ 的稠密子集。注意，若 $𝒜$ 有单位元，则非退化性蕴含了 $\pi$ 的保单位元性质，即 $\pi$ 将 $𝒜$ 的单位元映射到 $H$ 上的恒等算子 $I$ 。

C*-代数 $𝒜$ 上的态是范数为 1 的正线性泛函 $f$ 。若 $𝒜$ 具有乘法单位元，则此条件等价于 $f(1_{𝒜})=I$ 。

对于希尔伯特空间 $H$ 上的C*-代数 $𝒜$ 的表示 $\pi$ 以及 $\xi \in H$ ，如果向量集

$\{\pi (x)\xi :x\in A\}$

在 $H$ 中范数稠密，则 $\xi ,\pi$ 分别被称为是循环向量和循环表示。一个不可约表示的任何非零向量都是循环的。然而，一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。

GNS 构造

令 $\pi$ 为C*-代数 $𝒜$ 在希尔伯特空间 $H$ 上的*-表示，单位向量 $\xi$ 对于 $\pi$ 而言是循环向量。那么$$a\mapsto ⟨\pi (a)\xi ,\xi ⟩$$是 $𝒜$ 上的一个态。

反过来，通过选择一种典范的表示， $𝒜$ 的每个态都可以被视为如上所述的向量态。 Template:Math theorem Template:Math proof

在上述定理的证明中，根据 $𝒜$ 上的态产生*-表示的方法称为GNS构造。

对于C*-代数 $𝒜$ 上的一个态，相应的GNS表示本质上由 $\rho (a)=⟨\pi (a)\xi ,\xi ⟩$ 唯一确定了。下面的定理说明了这一点： Template:Math theorem

GNS构造的重要性

GNS构造是盖尔范德-奈马克定理证明的核心，该定理将C*-代数刻画为算子代数。一个C*-代数具有足够多的纯态（见下文）来使得相应不可约GNS表示的直和成为忠实的。

全体态对应的GNS表示的直和称为 $𝒜$ 的万有表示，其包含有每个循环表示。由于每个*-表示都是循环表示的直和，因此 $𝒜$ 的每个 *-表示可在万有表示之副本之和的直和分解中找到。

若 $\mathrm{\Phi }$ 是 C*-代数 $𝒜$ 的万有表示，则 $\mathrm{\Phi }(𝒜)$ 在弱算子拓扑中的闭包称为 $𝒜$ 的包络冯诺依曼代数。它可以视为是双对偶 ${𝒜}^{**}$ Template:Clarify。

不可约性

不可约*-表示和态所构成的凸集的极点（純態）之间的关系也很重要。 $H$ 上的表示 $\pi$ 是不可约的，当且仅当 $H$ 没有非平凡的在任一 $\pi (x)$ 下不变的闭子空间，这里所谓平凡的子空间是指 $H,\{0\}$ 。 Template:Math theorem 这些结果可由巴拿赫-阿勞格魯定理直接得出。

作为有单位元的交换代数，对于某个紧致的 $X$ 上的连续函数所构成的C*-代数 $𝒞(X)$ ， 里斯-马尔可夫-角谷表示定理指出，范数不超过一的正泛函可视作 $X$ 上一个总质量不超过一的博雷尔正测度。根据Template:Le，极点态则对应于狄拉克测度。

另一方面， $𝒞(X)$ 的表示的不可约性等价于其是一维的。因此，为使 $𝒞(X)$ 对应于测度 $\mu$ 的GNS 表示是不可约的，须且仅须 $\mu$ 是一极点态。事实上，这对于一般的C*-代数也成立。 Template:Math theorem 为证明此结果，首先须注意，一个表示是不可约的当且仅当 $\pi (𝒜)$ 的中心化子（记作 $\pi (𝒜{)}^{\prime }$ ）由单位元的标量倍数构成。

$𝒜$ 上任一被 $f$ 控制的正线性泛函 $g$ 具有形式$$g(x^{*}x)=⟨\pi (x)\xi ,\pi (x)T_g\xi ⟩,$$其中 $T_g\in \pi (𝒜{)}^{\prime }$ 是某个正算子，其在算子序下满足 $0\le T\le 1$。这是拉东-尼科迪姆定理的一个版本。

对于这样的 $g$ ，可以将 $f$ 写为如下正线性泛函的和： $f=g+g^{\prime }$ 。因此 $\pi$ 幺正等价于 ${\pi }_g\oplus {\pi }_{g^{\prime }}$ 的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的 ${\pi }_g$ 都幺正等价于 $\pi$ ，即 $g$ 是 $f$ 的标量倍数， $\pi$ 才是不可约的。于是便证明了该定理。

上文提到的极点态往往被称为纯态，但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。

上述C*-代数的定理可推广到具有渐进单位元的B*-代数。

推广

刻画完全正映射的斯坦斯普林扩张定理是GNS构造的一个重要推广。

历史

盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。西格尔意识到了其工作中隐含的构造，并以更明显的形式呈现出来。

西格尔在其1947年的论文中表明，对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统，考虑 C*-代数的不可约表示就足够了。在量子理论中，这意味着C*-代数是由可观测量生成的。正如西格尔所指出的，约翰·冯·诺依曼早先已经证明过这一点，但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。

参见

• 斯坦斯普林扩张定理

参考资料

• William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
• Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. Template:ISBN.
• Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.
  English translation: Template:Cite book
• Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008, Template:ISBN – Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
• Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, Template:ISBN, p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
• Template:Cite book