普朗歇尔定理

在数学中， 普朗歇尔定理（有时称为 Parseval-Plancherel 恒等式 ）是调和分析的一个结果，它由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出一个函数的模的平方的积分等于其频谱的模平方的积分。也就是说，如果

$f(x)$

是实轴上的函数，且有频谱

$\hat{f}(\xi )$

，那么

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi$

更精确的表述是，如果一个函数同时在 L^p 空间

$L^1(ℝ)$

和

$L^2(ℝ)$

中，那么它的傅里叶变换也在

$L^2(ℝ)$

中，且傅里叶变换是关于

$L^2$

范数的等距映射。这意味着，

$L^1(ℝ)\cap L^2(ℝ)$

上的傅里叶变换可以唯一地扩张为一个

$L^2(ℝ)\mapsto L^2(ℝ)$

的等距同构 ，后者有时称为普朗歇尔变换。这个等距同构实际上是一个幺正映射。实际上，这使得平方可积函数的傅里叶变换成为可能。

普朗歇尔定理在 n 维欧几里德空间 ${ℝ}^n$ 上仍然有效 。更一般地，该定理对局部紧阿贝尔群也成立。对于满足某些技术上的假定的非交换局部紧群，还有另一个版本的普朗歇尔定理。这是非交换调和分析的主题。

傅里叶变换的幺正性在科学和工程领域通常被称为帕塞瓦尔定理，该定理基于一个用于证明傅里叶级数幺正性的早期结果（但不那么具有一般性）。

借助极化恒等式，我们还可以将普朗歇尔定理用于计算

$L^2(ℝ)$

中两个函数的内积。也就是说，设

$f(x)$

和

$g(x)$

是两个

$L^2(ℝ)$

中的函数，而

$𝒫$

表示普朗歇尔变换，则

$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(𝒫f)(\xi )\overline{(𝒫g)(\xi )}d\xi ,$$

若

$f(x)$

和

$g(x)$

还是

$L^1(ℝ)$

函数，那么还有

$$(𝒫f)(\xi )=\hat{f}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi i\xi x}dx,$$

和

$$(𝒫g)(\xi )=\hat{g}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)e^{-2\pi i\xi x}dx,$$

于是有

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi .$

参考文献

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外部链接

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• Plancherel's Theorem on Mathworld