中心化矩阵

数学和多元变量统计中，中心化矩阵指对称幂等矩阵，且当其与向量相乘时，效果等用于从向量的每个分量中减去分量的平均值。

定义

大小为n的中心化矩阵是n×n的

$C_n=I_n-\frac{1}{n}{J}_n$

其中$I_n$是单位矩阵，$J_n$是n×n一矩阵。例如

$C_1=\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]$,

$C_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$ ,

$C_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right]$

性质

给定长为n的列向量$𝐯$，$C_n$的中心性可表为

$C_n𝐯=𝐯-(\frac{1}{n}{J}_{n,1}^{\text{T}}𝐯)J_{n,1}$

其中$J_{n,1}$是值全为1的列向量，$\frac{1}{n}{J}_{n,1}^{\text{T}}𝐯$是$𝐯$的分量的平均值。

• $C_n$是正半定对称阵。

• $C_n$是幂等矩阵，所以$C_n^k=C_n(k=1,2,\dots )$。均值被移除的话它就是零，再次移除也没有任何影响。
• $C_n$是奇异矩阵/不可逆矩阵。应用$C_n𝐯$变换的效果无法逆转。
• $C_n$具有重数为n-1的特征值1与重数为1的特征值0

• $C_n$沿向量$J_{n,1}$有维度为1的零空间。

• $C_n$是正交投影矩阵。也就是说$C_n𝐯$是$𝐯$在n-1维线性子空间上的投影，其与零空间$J_{n,1}$正交（这是所有分量和为0的n向量构成的子空间）。
• $C_n$的迹是$n(n-1)/n=n-1$。

应用

虽然与中心化矩阵相乘并不是去除向量均值的有效计算方法，但却是一种方便的分析工具。它不仅可用来去除单个向量的均值，还可去除存储在m×n矩阵$X$的行或列中多个向量的均值。

左乘$C_m$将从n列的每一列减去相应的均值，这样积$C_{m}X$的每列的均值都是0。相似地，右乘$C_n$会从每行减去相应的均值，这样积$X{C}_n$的每行均值都为0。两侧均乘：$C_{m}X{C}_n$将产生行列均值均为0的矩阵。

中心化矩阵提供了一种表示散布矩阵的方法：对数据样本$X$，有$S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm{T}})(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}$，其中$\mu =\frac{1}{n}X{J}_{n,1}$是样本均值。有了中心化矩阵，可以将散布矩阵更简洁地表示为

$S=X{C}_n(X{C}_n{)}^{\mathrm{T}}=X{C}_n{C}_{n}X{}^{\mathrm{T}}=X{C}_{n}X{}^{\mathrm{T}}.$

$C_n$是多项分布的协方差矩阵，在特殊情况下分布参数为$k=n$，$p_1=p_2=\cdots =p_n=\frac{1}{n}$。