尤尔卡特-里歇特定理

尤爾卡特-里歇特定理（Jurkat–Richert theorem）是篩法上的數學定理，這定理是關於歌德巴赫猜想的陳氏定理的關鍵部分。Template:Rp這定理在1965年由沃爾夫岡·B·尤爾卡特（Wolfgang B. Jurkat）及Template:Link-en所證明。

定理陳述

以下公式表示取自哈罗德·G·戴蒙德（Harold G Diamond）與Template:Link-en。Template:Rp其他的公式表示可見於尤爾卡特與里歇特、Template:Rp哈伯斯塔姆與里歇特、Template:Rp以及Template:Link-en等人的結果。Template:Rp

假定$A$是一個整數的有限序列，而$P$是質數集合，設$A_d$為$A$中可被$d$除盡的元素構成的集合，並設$P(z)$為$P$中小於$z$的質數的乘積，然後再設$\omega (d)$為一個使得$\omega (p)/p$大致與$A$中可被$p$除盡的元素成比例的積性函數。然後$X$為$A$中元素的大致個數，則其餘項可表示如下：

$r_A(d)=\left|A_d\right|-\frac{\omega (d)}{d}X.$

設$S(A,P,z)$為$A$中與$P(z)$彼此互質的元素的個數，則有下式：

$V(z)=\prod _{p\in P,p<z}(1-\frac{\omega (p)}{p}).$

再設$\nu (m)$為$m$彼此相異的質因數的數量，並設$F_1$及$f_1$為滿足特定微分差分方程的方程式。（可參見戴蒙德與哈伯斯塔姆的書Template:Rp以知其定義與性質）現在假定篩選密度的維度為一，也就是在存在常數$C$，使得$2\le z<w$的情況下，可得以下關係式：

$\prod _{z\le p<w}{(1-\frac{\omega (p)}{p})}^{-1}\le \left(\frac{\log w}{\log z}\right)(1+\frac{C}{\log z}).$

（戴蒙德與哈伯斯塔姆的書將此定理延伸到維度大於一的狀況）那麼尤爾卡特—里歇特定理就表示說對於任意滿足$2\le z\le y\le X$的數$y$與$z$而言，有以下關係式：

$S(A,P,z)\le XV(z)(F_1\left(\frac{\log y}{\log z}\right)+O\left(\frac{(\log \log y{)}^{3/4}}{(\log y{)}^{1/4}}\right))+\sum _{m|P(z),m<y}{4}^{\nu (m)}|r_A(m)|$

及

$S(A,P,z)\ge XV(z)(f_1\left(\frac{\log y}{\log z}\right)-O\left(\frac{(\log \log y{)}^{3/4}}{(\log y{)}^{1/4}}\right))-\sum _{m|P(z),m<y}{4}^{\nu (m)}|r_A(m)|.$