布朗篩法

在數論中，布朗篩法（Brun sieve；或稱布朗純篩法 (Brun's pure sieve)）是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧，而這些條件一般都以同餘表示。該篩法由维戈·布朗於1915年發展，並在後來由其他學者推廣為篩法基本引理。

描述

在篩法的術語中，布朗篩法是一種「組合篩法」，也就是一種透過小心應用容斥原理進行「篩選」的篩法。在正式討論布朗篩法前，先定義一些表記：

設 $A$ 為正整數的有限集，而 $P$ 則為質數的集合，然後設 $A_{p}$ 是 $A$ 中可為 $P$ 中的質數 $p$ 整除的數組成的集合；此外，可設 $d$ 為 $P$ 中的不同質數的乘積，在這種狀況下，可相應地定義 $A_{d}$ 為 $A$ 中可被 $d$ 整除的數的集合，也就是與 $d$ 的質因數 $p$ 相應的集合 $A_{p}$ 的交集；而 $A_{1}$ 也可相應地定義成 $A$ 本身。

設 $z$ 為任意實數，那麼該篩法的目標就是估計下式： $S (A, P, z) = | A ∖ ⋃_{\binom{p \in P}{p \leq z}} A_{p} |,$

在上式中， $| X |$ 是集合 $X$ 的元素個數。

此外，假若 $| A_{d} |$ 的元素個數可由下式估計的話（下式中， $w$ 是一個積性函數，而 $R_{d}$ 是與之相應的誤差項）： $| A_{d} | = \frac{w (d)}{d} | A | + R_{d},$

那就可定義下式： $W (z) = \prod_{\binom{p \in P}{p \leq z}} (1 - \frac{w (p)}{p}) .$

布朗純篩法

以下內容取自Cojocaru & Murty Template:Wayback的定理6.1.2.，並使用上述的表記。

若以下條件成立：

對於任意由 $P$ 中的質數構成的無平方因子數 $d$ 而言，有 $| R_{d} | \leq w (d)$
存在常數 $C, D, E$ 使得對於任意實數 $z$ 而言，有 $\sum_{\binom{p \in P}{p \leq z}} \frac{w (p)}{p} < D \log \log z + E .$
對於任意 $P$ 中的質數 $p$ ，有 $w (p) < C$

則有以下的關係式： $S (A, P, z) = X \cdot W (z) \cdot (1 + O ((\log z)^{- b \log b})) + O (z^{b \log \log z})$

其中 $X$ 是 $A$ 的元素個數、 $b$ 是任意正整數，而 $O$ 則是大O符號。

此外，設 $x$ 為 $A$ 的最大元，那在存在足夠小的 $c$ 使得 $\log z < c \log x / \log \log x$ 的狀況下，有下列關係式： $S (A, P, z) = X \cdot W (z) (1 + o (1)) .$

應用

布朗定理：所有孿生質數的倒數和收斂。
施尼勒爾曼密度：所有的偶數至多 $C$ 個質數之和。 $C$ 的大小可小至6。
存在有無限多個彼此差為2的整數對，而在該整數對中的兩個數都至多是九個質數的乘積。
所有的偶數都可表示成兩個至多是九個質數乘積的數之和。

最後兩個定理弱於陳氏定理及弱哥德巴赫猜想。

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