根軸

根軸（Template:Lang-en）是由兩個圓唯一確定的，與兩圓連心線垂直的直線，其定義為關於兩圓的圓冪相等的點的軌跡。

性質

幾何形狀及其位置的確定

令向量 $\vec{x}$ 、 ${\vec{m}}_{1}$ 、 ${\vec{m}}_{2}$ 分別為根軸上的點 $P$ 、兩圓圓心 $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 的位置。則根軸的「曲線」方程為：

(\vec{x} - {\vec{m}}_{1})^{2} - r_{1}^{2} = (\vec{x} - {\vec{m}}_{2})^{2} - r_{2}^{2},

即

2 \vec{x} \cdot ({\vec{m}}_{2} - {\vec{m}}_{1}) + {\vec{m}}_{1}^{2} - {\vec{m}}_{2}^{2} + r_{2}^{2} - r_{1}^{2} = 0 .

從右等式可知根軸是一條垂直於連心線的直線。因 ${\vec{m}}_{1}^{2} - {\vec{m}}_{2}^{2} + r_{2}^{2} - r_{1}^{2}$ 內積大小僅由 $x$ 在 ${\vec{m}}_{2} - {\vec{m}}_{1}$ 方向的分量決定，所以根軸是一條垂直於連心線的直線。

根軸在連心線上的垂足 $L$ 與圓心 $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 的距離 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 分別滿足
$d_{1} = \frac{d^{2} + {r_{1}}^{2} - {r_{2}}^{2}}{2 d}, d_{2} = \frac{d^{2} + {r_{2}}^{2} - {r_{1}}^{2}}{2 d}$ ,
其中 $d = | M_{1} M_{2} |$ .

如果兩圓相交，則根軸為它們交點的連線；如果兩圓相切，則根軸為它們的公切線^[1]Template:Rp。

根心

定義

三個圓能畫出三條根軸，這三條根軸交於一點，稱為三個圓的根心，若三個圓的圓心共線，則其根心為垂直於連心線方向上的無窮遠點^[1]Template:Rp。

存在性的證明

考慮三圓 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 、 $Q_{3}$ 兩兩構成的三條根軸。令 $P$ 為 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 根軸以及 $Q_{1}$ 、 $Q_{3}$ 根軸的交點。有

{Pow}_{Q_{1}} (P) = {Pow}_{Q_{2}} (P)

，

{Pow}_{Q_{1}} (P) = {Pow}_{Q_{3}} (P)

，

其中 ${Pow}_{Q_{i}} (P)$ 表示點 $P$ 關於圓 $Q_{i}$ 的冪。

則知點 $P$ 關於 $Q_{2}$ 和 $Q_{3}$ 的圓冪都相等，因此它在第三條根軸上，換言之，三條根軸共點，存在根心。

參考資料

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外部鏈結

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[:0-1] 1.0 ^1.1 Template:Cite book

[1]

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