費馬-卡塔蘭猜想

在數論上，費馬－卡塔蘭猜想是費馬大定理與卡塔蘭猜想的推廣，而這猜想認為，以下的等式

Template:NumBlk 僅有有限多個$a,b,c$彼此互質，且$m,n,k$滿足下列條件的解： Template:NumBlk 這個給出$m,n,k$條件的不等式是猜想的必要成分，而這是因為沒有這不等式的話，這結果就會有無限多的解，像例如在$k=1$的狀況下，$a^m+b^n=c$顯然有無限多的解；而在$m=n=k=2$的狀況下該等式就是畢達哥拉斯定理，而目前已知有無限多個畢氏三元數存在。

已知解

截至2015年為止，等式(1)已知有十個滿足不等式(2)的解，而這些解如下：

$1^m+2^3=3^2$ （在$m>6$的狀況下這滿足不等式(2)）

$2^5+7^2=3^4$

$7^3+13^2=2^9$

$2^7+17^3=71^2$

$3^5+11^4=122^2$

$33^8+1549034^2=15613^3$

$1414^3+2213459^2=65^7$

$9262^3+15312283^2=113^7$

$17^7+76271^3=21063928^2$

$43^8+96222^3=30042907^2$

根據在Template:Le於2002年證明的卡塔蘭猜想，這些等式中的第一個，也就是$1^m+2^3=3^2$，是唯一滿足$a,b,c$其中一個是1的解。盡管因為$m$可以是大於6的任意數之故，因此$1^m+2^3=3^2$等同於有無限多解，這些解只對$(a^m,b^n,c^k)$這三元數給出一組解。

部分結果

根據利用了法爾廷斯定理的達爾蒙－關維定理（Darmon–Granville theorem），對於任意特定不等式(2)的三元數組$(m,n,k)$，等式(1)僅有有限解；Template:Rp然而完整的費馬－卡塔蘭猜想強於此，而這是因為完整的猜想允許$m,n,k$這三個指數項是任意數之故。

abc猜想可導出費馬－卡塔蘭猜想。

亦可見Template:Link-en一文的內容以得知已證實不可能的指數組合；而比爾猜想為真，當且僅當所有費馬－卡塔蘭猜想的解都有$m=2$、$n=2$或$k=2$。

參見

• 冪和

外部連結

• Perfect Powers: Pillai's works and their developments. Waldschmidt, M. Template:Wayback