微分方程的級數解

在數學中，冪級數法用於求某些微分方程的冪級數解。 通常這樣的解假設一個具有未知係數的冪級數，然後將該解代入微分方程以找到係數的遞推關係。

方法

考慮二階線性微分方程$$a_2(z)f^{″}(z)+a_1(z)f^{\prime }(z)+a_0(z)f(z)=0.$$假設對於所有 z，a2 都不為零。 然後我們可以劃分整個得到$$f^{″}+\frac{a_1(z)}{a_2(z)}{f}^{\prime }+\frac{a_0(z)}{a_2(z)}f=0.$$進一步假設 a1/a2 和 a0/a2 是解析函數。

冪級數方法要求構建冪級數解$$f=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{z}^k.$$

如果對於某些 z，a2 為零，則 Frobenius 方法是該方法的一種變體，適用於處理所謂的正則特異點。 該方法類似地適用於高階方程和系統。