误差

统计学和最优化中，误差（error）和残差（residual）是两个相近但有区别的概念，二者均是统计样本中某一元素的Template:Tsl与其“真值”（未必可直接观测得到）之间的离差的度量。观察的误差是观测值与相关量（例如总体平均值）的真值之间的差值。残差是观测值与统计量的估计值（例如Template:Tsl）之间的差值。这种区别在迴歸分析中至关重要，回归分析中，这些概念有时称为回归误差（regression errors）和回归残差（regression residuals），它们引出了Template:Tsl的概念。

计量经济学中，误差也称为扰动（disturbances）。

简介

假设有一系列取自Template:Tsl的观察结果，我们想要估计该分布的平均值。此时，误差是观测值与总体均值的偏差，而残差是观测值与样本均值的偏差。

统计误差（statistical error）是观察值与其期望值的差异程度，而期望值基于随机选择统计单位的总体。例如，如果21岁男性的平均身高为1.75米，而随机选出的一名男性身高为1.80米，则“误差”为0.05米；如果随机选出男性人身高1.70米，则“误差”为-0.05 米。期望值是整个总体的均值，通常是无法观测的，因此统计误差也无从知晓。

而残差（residual）是对无法观测的统计误差的可观测估计。在上述的男性身高的例子中，假设我们随机抽取n个人作为样本。样本均值可以很好地估计总体均值。此时：

• 样本中每个人的身高与无法观测的总体均值之间的差值是统计误差，
• 样本中每个人的身高与可观测的样本均值之间的差值是残差。

注意，由于样本均值的定义，随机样本内的残差之和必然为零，因此残差必然不是相互独立的。而统计误差是独立的，它们在随机样本中的总和几乎肯定不为零。

统计误差（尤其是正态分布的）的数值可以用標準分數（或“z分数”）来标准化，而残差可以用Template:Tsl，或更一般的Template:Tsl来标准化。

单变量分布

假定有一个均值为Template:Mvar、標準差为Template:Mvar的正态分布总体，从中随机选择个体，得到样本：

$X_1,\dots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

其样本均值为

$\bar{X}=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$

它是一个随机变量分布，服从：

$\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}).$

其统计误差为：

$e_i=X_i-\mu ,$

其期望值为0，而残差为：

$r_i=X_i-\bar{X}.$

统计误差的平方和除以Template:Math，得到自由度为Template:Mvar的卡方分布：

$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n{e}_i^2\sim {\chi }_n^2.$

然而，因为总体均值未知，这个数量是不可观测的。但是，残差的平方和是可观测的。该总和除以Template:Math的商是Template:Math自由度的卡方分布：

$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n{r}_i^2\sim {\chi }_{n-1}^2.$

自由度为Template:Mvar和Template:Math之间的区别是对总体（均值、方差未知）的方差估计值的Template:Tsl。若总体均值已知，则无需进行校正。

参见

• 离差
• 错误检测与纠正
• 误差范围
• 平均绝对误差
• 测量误差
• 误差传播
• Template:Tsl
• Template:Tsl
• 均方根误差
• 抽样误差
• 标准误差
• Template:Tsl
• 型一錯誤與型二錯誤

参考文献

• Template:Cite book
• Template:Cite journal
• Template:Cite book
• Template:Springer

外部链接

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