卡迪森-辛格問題

数学上，卡迪森-辛格問題（Template:Lang-en）於1959年提出，有關泛函分析，問某個特定C*-代数上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的C*-代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。

問題源出1940年代保罗·狄拉克對量子力学理論基礎的研究。1959年，Template:Link-en與艾沙道尔·辛格給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森-辛格問題等價。卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一），然而於2013年，Template:Link-en、Template:Link-en、Template:Link-en合著論文給出肯定的答案。翌年，三人因此獲Template:Le頒發Template:Link-en。

馬-斯-斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究C*-代數。Template:Rp馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍无法用C*-代数的语言来描述它」Template:Rp。解決問題的轉捩點，是喬爾·安德森（Template:Lang）將其重寫成不牽涉C*-代數理論的等價形式。Template:Rp安德森於1979年證明，其「鋪砌猜想」（Template:Lang-en）與卡迪森-辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克·威佛（Template:Lang），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬-斯-斯三氏研究。Template:Rp而此版本用交織多項式族（Template:Lang-en）獲解決。

原問題敍述

先引入若干定義：

${\mathit{\ell }}^2$

平方可和的複Template:Le，即${\ell }^2=\{(x_1,x_2,\dots ):x_i\in ℂ,\sum _i{\left|x_i\right|}^2<\mathrm{\infty }\}$。此空間為可分希爾伯特空間，內積定義由$⟨x,y⟩=\sum _i{x}_i\overline{y_i}$給出。

$𝑩({\mathit{\ell }}^2)$

從${\ell }^2$到${\ell }^2$的連續線性算子組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、伴隨等運算，構成一個C*-代数。

$𝑫({\mathit{\ell }}^2)$

從${\ell }^2$到${\ell }^2$的對角連續線性算子集合。換言之，$D({\ell }^2)=\{f:{\ell }^2\to {\ell }^2|f(x)=(a_1{x}_1,a_2{x}_2,\dots ),\text{ 其 中 }{a}_i\in ℂ,\text{ 且 }{a}_i\text{ 有 界 }\}$。$D({\ell }^2)$包含於$B({\ell }^2)$，故為其子C*-代数。

態

C*-代數$A$上的Template:Link-en，是連續線性泛函$\phi :A\to ℂ$，將單位元$I$映到$1$，且對任意半正定的$T\ge 0$，有$\phi (T)\ge 0$（即此時$\phi (T)$要取實值，且該實值為非負）。

純態

接續上項，$\phi$稱為純態，意思是在$A$上所有態組成的集合中，$\phi$是Template:Le，即不能寫成其他態的凸組合。

由哈恩-巴拿赫定理，$D({\ell }^2)$上的任意泛函，必能延拓到$B({\ell }^2)$上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森-辛格問題是要證明或否證以下命題：

對

$D({\ell }^2)$

上的任意純態

$\phi$

，

$B({\ell }^2)$

上都存在唯一的態

$\psi$

，使

$\psi$

延拓

$\phi$

，即兩者限制到

$D$

時等同。

此命題已證為真。

鋪砌猜想敍述

卡迪森-辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下鋪砌猜想為真：

對任意的

$\epsilon >0$

，存在正整數

$k$

使得：對每個

$n$

，以及對

$n$

維希爾伯特空間

${ℂ}^n$

上的每個線性算子

$T$

（可視為

$n\times n$

方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將

$\{1,\dots ,n\}$

分劃為

$k$

份

$A_1,\dots ,A_k$

，使得

$\Vert P_{A_j}T{P}_{A_j}\Vert \le \epsilon \Vert T\Vert$ 對於每個 $j=1,\dots ,k$ 都成立。

此處$P_{A_j}$是正交投影，將${ℂ}^n$（坐標以$1,2,\dots ,n$為下標）映到坐標僅以$A_j$元素為下標的子空間。換言之，$P_{A_j}T{P}_{A_j}$是下標為$A_j$元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數$\Vert \cdot \Vert$取為譜範數，即來自${ℂ}^n$上歐氏範數的算子范数。

注意命題中，$k$只能與$\epsilon$有關，但不取決於$n$。

偏差敍述

尼克·威佛（Template:Lang）證明，以下「Template:Link-en」命題，同樣與卡迪森-辛格問題（的肯定答案）等價：

設有向量

$u_1,\dots ,u_m\in {ℂ}^d$

，滿足

$\sum _{i=1}^m{u}_i{u}_i^{*}=I$

（

$d\times d$

單位方陣），且對每個

$i$

，

$\Vert u_i{\Vert }_2^2\le \delta$

。則存在一種方法將

$\{1,\dots ,m\}$

分劃成兩個子集

$S_1$

和

$S_2$

，使得對於

$j=1,2$

都有

$\Vert \sum _{i\in S_j}{u}_i{u}_i^{*}\Vert \le \frac{{(1+\sqrt{2\delta })}^2}{2}.$

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（Template:Lang-en）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論：

設向量$v_1,\dots ,v_m\in {ℝ}^d$滿足$\Vert v_i{\Vert }_2^2\le \alpha$（對所有$i$），還有

$\sum _{i=1}^m⟨v_i,x{⟩}^2=1$ 對滿足$\Vert x\Vert =1$的所有向量$x\in {ℝ}^d$成立。

則可以將$\{1,\dots ,m\}$分劃成兩個子集$S_1$、$S_2$，使得對$j=1,2$，以及滿足$\Vert x\Vert =1$的任意向量$x\in {ℝ}^d$，皆有：

$|\sum _{i\in S_j}⟨v_i,x{⟩}^2-\frac{1}{2}|\le 5\sqrt{\alpha }.$

「偏差」一詞的含義，在$\alpha$較小時顯明：在單位球面上取值恆為$1$的二次型，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離$1/2$的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於圖分劃的若干結果。

外部鏈結

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