射影定理

射影定理（台灣稱「母子相似定理」)（Template:Lang-en），又稱歐幾里得定理（Template:Lang-en），是平面幾何中的一個定理。這個定理指出，在一個直角三角形中，一條直角邊的平方，相等於三角形的斜邊乘以該直角邊在斜邊上的正投影。這個定理出現在歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中，是第 47 個命題畢氏定理證明過程的一部分。

定理內容

在 Template:Math 中，Template:Math，以及 Template:Math。Template:Math 及 Template:Math 分別是 Template:Math 及 Template:Math 在底邊 Template:Math 的正投影。

在 Template:Math 中，Template:Math。設 Template:Math 在 Template:Math 的上的高，則有：

${AC}^2=AD\cdot AB$

${BC}^2=BD\cdot AB$

${CD}^2=AD\cdot BD$

在這裡，Template:Math 及 Template:Math 分別是 Template:Math 及 Template:Math 在底邊 Template:Math 的正投影，故定理以此為名。

證明

注意到 Template:Math 與 Template:Math 是相似三角形。因此可得

$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$

整理可得

${AC}^2=AD\cdot AB$

同理，考慮相似三角形 Template:Math 與 Template:Math，可得

$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$

整理可得

${BC}^2=BD\cdot AB$

證明完畢。

相關定理

直角三角形面積

在上面的 Template:Math 中，我們有：

$AB\cdot CD=AC\cdot BC$

考慮三角形的面積，即可容易地證明。

勾股定理

勾股定理，是歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中的第 47 個命題。這個定理指出：

${AB}^2={AC}^2+{BC}^2$

勾股定理與射影定理有密切關係。事實上，在《幾何原本》中，射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知：

${AC}^2=AD\cdot AB$

${BC}^2=BD\cdot AB$

將兩條等式相加，則可得：

${AC}^2+{BC}^2=AD\cdot AB+BD\cdot AB$

由於 Template:Math，因此可得：

${AB}^2={AC}^2+{BC}^2$

證明完畢。

幾何平均定理

Template:Le，是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。這個定理指出：

${CD}^2=AD\cdot BD$

也就是說，Template:Math 是 Template:Math 和 Template:Math 的幾何平均。

與射影定理一樣，幾何平均定理可從相似三角形得證。

一般三角形的情況

邊長 Template:Math 及 Template:Math 在底邊 Template:Math 的正投影，分別是 Template:Math 及 Template:Math。

對於 Template:Math 的情況，三角形邊長的正投影可用餘弦求得：

$AD=AC\cos \mathrm{\angle }A$

$BD=BC\cos \mathrm{\angle }B$

以上結果從餘弦的定義直接可得。

把上面兩式相加，即可得：

$AB=AC\cos \mathrm{\angle }A+BC\cos \mathrm{\angle }B$

以上公式，又被稱為「第一餘弦定理」。然而，一般「餘弦定理」所指的，是另一條定理（「第二餘弦定理」），詳見餘弦定理。

三維空間上的推廣

三直角四面體

一個四面體。若構成頂點的三個面角皆為直角，則這是一個三直角四面體。

射影定理在三維空間上，也有相應的推廣。設Template:Le Template:Math 中，Template:Math。又設 Template:Math 在斜面 Template:Math 的正投影為 Template:Math。我們則有：

$[\mathrm{△}ADB{]}^2=[\mathrm{△}AEB]\cdot [\mathrm{△}ABC]$

$[\mathrm{△}ADC{]}^2=[\mathrm{△}AEC]\cdot [\mathrm{△}ABC]$

$[\mathrm{△}BDC{]}^2=[\mathrm{△}BEC]\cdot [\mathrm{△}ABC]$

其中 Template:Math 表示 Template:Math 的面積。

把以上三條等式相加，則可得德古阿定理：

$[\mathrm{△}ABC{]}^2=[\mathrm{△}ADB{]}^2+[\mathrm{△}ADC{]}^2+[\mathrm{△}BDC{]}^2$

德古阿定理可以視為畢氏定理在三維空間上的其中一種推廣。

一般四面體

在四面體 Template:Math 中，設 Template:Math 為底面。又設 Template:Math 在 Template:Math 的正投影為 Template:Math。我們則有：

$AE=AD\cos \alpha$

$BE=BD\cos \beta$

$CE=CD\cos \gamma$

其中 Template:Math 、Template:Math 及 Template:Math 分別是 Template:Math 、Template:Math 及 Template:Math 與底面 Template:Math 的夾角。

另外亦有：

$[\mathrm{△}ABE]=[\mathrm{△}ABD]\cos \theta$

$[\mathrm{△}ACE]=[\mathrm{△}ACD]\cos \varphi$

$[\mathrm{△}BCE]=[\mathrm{△}BCD]\cos \psi$

其中 Template:Math 、Template:Math 及 Template:Math 分別是 Template:Math 、Template:Math 及 Template:Math 與底面 Template:Math 的夾角。

將上面三條等式相加，可得：

$[\mathrm{△}ABC]=[\mathrm{△}ABD]\cos \theta +[\mathrm{△}ACD]\cos \varphi +[\mathrm{△}BCD]\cos \psi$

是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。

任意圖形的投影

更進一步地說，面積為 Template:Math 的任意平面圖形，在底面的正投影的面積 Template:Math，都可用餘弦求得：

$S_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}=S\cos \theta$

其中 Template:Math 是該平面圖形與底面的夾角。

參見

• 正投影
• 直角三角形
• Template:Le
• 畢氏定理
• Template:Le
• 德古阿定理