黃金菱形

在幾何學中，黃金菱形是指兩對角線長度的比值呈黃金比例的菱形^[1]：

\frac{D}{d} = φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618 034

其中 $D$ 為長對角線的長度、 $d$ 為短對角線的長度。而由黃金矩形中取到的伐里農平行四邊形皆為黃金菱形。^[1] 有數種知名的多面體皆由黃金菱形組成，例如Template:Link-en^[2]^[3]、菱形三十面體^[4]等。特別地，有另一種菱形也與黃金比例相關聯，即Template:Link-en中的菱形，但不同之處在於，Template:Link-en中的菱形是邊長與對角線的比為黃金比例，而黃金菱形則是指兩對角線比值為黃金比例的菱形。^[5]

性質

Template:Main 黃金菱形是菱形中的一個特例，其基本性質與菱形相同。以下討論黃金菱形的特別性質。

內角

黃金菱形的內角為^[6]：

銳角： $α = 2 \arctan \frac{1}{φ}$ ;

α = \arctan \frac{\frac{2}{φ}}{1 - (\frac{1}{φ})^{2}} = \arctan \frac{\frac{2}{φ}}{\frac{1}{φ}} = \arctan 2 \approx 63.4349 5^{\circ} .

鈍角： $β = 2 \arctan φ = π - \arctan 2 \approx 116.5650 5^{\circ},$

這個角度值與正十二面體相同^[7]

邊長與對角線長

由於菱形也是一種平行四邊形^[8]，因此黃金菱形的邊長與對角線長可以用平行四邊形恆等式得出^[9]：

黃金菱形的邊長 $a$ 與對角線長 $d$ 具有以下關係：

$a = \frac{1}{2} \sqrt{d^{2} + (φ d)^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + φ^{2}} d = \frac{\sqrt{2 + φ}}{2} d = \frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} d \approx 0.95106 d .$

因此，可以用

a

來表示長對角線

D

與短對角線

d

：^[6]

$d = \frac{2 a}{\sqrt{2 + φ}} = 2 \sqrt{\frac{3 - φ}{5}} a = \sqrt{2 - \frac{2}{\sqrt{5}}} a \approx 1.05146 a .$
$D = \frac{2 φ a}{\sqrt{2 + φ}} = 2 \sqrt{\frac{2 + φ}{5}} a = \sqrt{2 + \frac{2}{\sqrt{5}}} a \approx 1.70130 a .$

面積

已知短對角線長 $d$ 時，黃金菱形的的面積為^[10]：

A = \frac{(φ d) \cdot d}{2} = \frac{φ}{2} d^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} d^{2} \approx 0.80902 d^{2} .

已知邊長為 $a$ 時，黃金菱形的的面積為^[6]^[10]：

A = (\sin (\arctan 2)) a^{2} = \frac{2}{\sqrt{5}} a^{2} \approx 0.89443 a^{2} .

在多面體中

黃金菱形出現在許多高對稱性的多面體中，例如菱形三十面體（截半二十面体的對偶多面體）^[4]、菱形六十面體（菱形三十面體的星形化體）^[11]。黃金菱形也構成了許多知名的多面體，例如Template:Link-wd、Template:Link-en和菱形二十面體等。由全部皆由黃金菱形組成的凸多面體僅有兩種黃金菱形六面體、比林斯基十二面體、菱形二十面體以及菱形三十面體五種。而不考慮凹凸性（即允許非凸多面體），則有無限多種多面體可以包含黃金菱形^[12]。