南部-后藤作用

南部-后藤作用量是玻色弦理论中最简单的作用量之一。这个作用量以南部阳一朗和後藤鉄男（Template:Jp）这两个日本物理家的名字命名。

南后作用量等于世界面的面积：

$𝒮=-\frac{1}{2\pi {\alpha }^{\prime }}\int {\mathrm{d}}^{2}A=-\frac{1}{2\pi {\alpha }^{\prime }}\int {\mathrm{d}}^2\mathrm{\Sigma }\sqrt{-g}=-\frac{1}{2\pi {\alpha }^{\prime }}\int {\mathrm{d}}^2\mathrm{\Sigma }\sqrt{(\dot{X}\cdot X^{\prime }{)}^2-(\dot{X}{)}^2(X^{\prime }{)}^2}.$

狭义相对论的作用量

若

$-d{s}^2=-(cdt{)}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2,$

相对论的作用量是下面的泛函：

$S=-mc\int ds.$

最小作用量原理说经典方程说泛函导数等于0：

$\delta S=0.$

量子相对论用泛函积分

$Z=\int \exp (iS)$

世界面

设时空是d+1维的：

$x=(x^0,x^1,x^2,\dots ,x^d).$

($\tau$, $\sigma$)是世界面的参数。

$X(\tau ,\sigma )=(X^0(\tau ,\sigma ),X^1(\tau ,\sigma ),X^2(\tau ,\sigma ),\dots ,X^d(\tau ,\sigma )).$

设 ${\eta }_{\mu \nu }$ 是 $(d+1)$维时空的距离函数，则

$g_{ab}={\eta }_{\mu \nu }\frac{\partial X^{\mu }}{\partial y^a}\frac{\partial X^{\nu }}{\partial y^b}$

是世界面的距离函数。$a,b=0,1$ 而 $y^0=\tau ,y^1=\sigma$。世界面的面积 $𝒜$ 是

$\mathrm{d}𝒜={\mathrm{d}}^2\mathrm{\Sigma }\sqrt{-g}$

其中${\mathrm{d}}^2\mathrm{\Sigma }=\mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau$ ， $g=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(g_{ab}\right)$。若

$\dot{X}=\frac{\partial X}{\partial \tau }$

$X^{\prime }=\frac{\partial X}{\partial \sigma },$

则距离函数 $g_{ab}$是

$g_{ab}=\left(\begin{array}{cc}{\dot{X}}^2& \dot{X}\cdot X^{\prime }\\ X^{\prime }\cdot \dot{X}& X{\text{'}}^2\end{array}\right)$

$g={\dot{X}}^{2}X{\text{'}}^2-(\dot{X}\cdot X^{\prime }{)}^2$

南后作用

南后作用是

$𝒮=-\frac{1}{2\pi {\alpha }^{\prime }}\int {\mathrm{d}}^{2}A=-\frac{1}{2\pi {\alpha }^{\prime }}\int {\mathrm{d}}^2\mathrm{\Sigma }\sqrt{-g}=-\frac{1}{2\pi {\alpha }^{\prime }}\int {\mathrm{d}}^2\mathrm{\Sigma }\sqrt{(\dot{X}\cdot X^{\prime }{)}^2-(\dot{X}{)}^2(X^{\prime }{)}^2}.$

使用上文的距离函数

$𝒮=-\frac{1}{2\pi {\alpha }^{\prime }}\int {\mathrm{d}}^2\mathrm{\Sigma }\sqrt{{\dot{X}}^2-{X^{\prime }}^2},$

或

$𝒮=-\frac{1}{4\pi {\alpha }^{\prime }}\int {\mathrm{d}}^2\mathrm{\Sigma }({\dot{X}}^2-{X^{\prime }}^2).$

这是上文相对论作用量的二维推广。

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