一致估计量

{$T_1$, $T_2$, $T_3$, ...}是参数${\theta }_0$的一组估计量，待估参数真值为4。随着样本量的增加该估计量序列越发集中于${\theta }_0$的真值；而同时这些估计量是有偏的。该估计量序列的极限分布将退化为一个随机变量以概率1收敛于${\theta }_0$。

在统计学中，一致估计量(Consistent Estimater)、渐进一致估计量，亦称相合估计量、相容估计量。其所表征的一致性或（相合性）同渐进正态性是大样本估计中两大最重要的性质。随着样本量无限增加，估计误差在一定意义下可以任意地小。也即估计量的分布越来越集中在所估计的参数的真实值附近，使得估计量依概率收敛于${\theta }_0$。

这里定义的一致性称弱相合性。如果将概率收敛的方式改为以概率1收敛此时称强相合性。

定义

设$g(\theta )$为定义在参数空间$\mathrm{\Theta }$上的一维数值函数，用${\hat{T}}_n=T(X^{(n)})$去估计它。这里$X^{(n)}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$为样本，$n$为样本量。如果当$n\to \mathrm{\infty }$时，估计量${\hat{T}}_n$在某个意义$C$之下收敛于被估计的$g(\theta )$，则称${\hat{T}}_n$是$g(\theta )$的一个意义$C$之下的相合估计。在数理统计中最常考虑的有以下三种情况：

• $C$表示依概率收敛，即是${\hat{T}}_n\stackrel{}{\to }g(\theta )$，这时所定义的相合性称弱相合。

• $C$表示以概率1收敛，即是${\hat{T}}_n\stackrel{a.s.}{\to }g(\theta )$，这时所定义的相合性称强相合。

• $C$表示以$r$阶矩收敛($r>0$)，即是$\mathrm{E}|{\hat{T}}_n-g(\theta ){|}^r\to 0$，这时所定义的相合性称$r$阶矩相合，简称矩相合。

根据定义显然可知强相合与矩相合可推得弱相合，反之不成立。强相合与矩相合之间没有从属关系。

如果$g(\theta )=(g_1(\theta ),g_2(\theta ),\cdots ,g_k(\theta ))$是多维的，$\mathrm{\forall }i\in \{1,2,\cdots ,k\}$，${\hat{T}}_{ni}$为$g_i(\theta )$在某意义下的相合估计，则称估计量${\hat{T}}_n=({\hat{T}}_{n1},{\hat{T}}_{n2},\cdots ,{\hat{T}}_{nk})$在该意义下相合。

因此一般性讨论中可以只考虑$g(\theta )$为1维的情况。

性质

泛函不变性

设参数空间$\mathrm{\Theta }\subset {ℝ}^k$，$g(\theta )$为定义在开集$\tilde{\mathrm{\Theta }}\subset \mathrm{\Theta }$上的实值连续函数。若${\hat{T}}_n$是$\theta$的（强/弱）相合估计，则$g({\hat{T}}_n)$是$g(\theta )$的（强/弱）相合估计。

该定理不适用于矩相合。

由该定理和Kolmogorov强大数定律可推知矩估计为强相合估计。

存在性的充分条件

设参数空间$\mathrm{\Theta }\subset {ℝ}^k$，独立同分布样本$X_1,X_2,\cdots ,X_n$其总体分布函数是k维分布函数$F_{\theta }(x)$。若$\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta },\epsilon >0$ 有

$\inf \{\underset{x\in {ℝ}^k}{\sup }|F_{\theta }-F_{\phi }|:\phi \in \mathrm{\Theta },\Vert \theta -\phi \Vert >\epsilon \}>0$

则$\theta$的强相合估计存在。

存在性的一个必要条件

设参数空间$\mathrm{\Theta }\subset {ℝ}^k$，独立同分布样本$X_1,X_2,\cdots ,X_n$其总体分布函数是k维分布函数$F_{\theta }(x)$。若$\theta$的相合估计存在，且$\theta \ne \phi \in \mathrm{\Theta }$时，$F_{\theta }\ne F_{\phi }$。

存在性的充要条件

至今没有得到回答。

参考文献

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