快度

Template:NoteTA 在相對論中，快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之间的差异——它们的时空坐標为洛仑兹变换所聯繫。

對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特别地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。

我們使用反雙曲函數Template:Math來定義快度，當速度為Template:Math時，其對應的快度Template:Math是Template:Math，其中Template:Math是光速。速度較慢時，Template:Math約為Template:Math。由於在相對論中，速度v被局限於區間Template:Math，因此比率Template:Math將滿足Template:Math。反雙曲正切函數的定義域為Template:Math，而值域為整條實數線，所以可以將區間Template:Math映射到Template:Math。

歷史

在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的Template:Tsl，即為一個虛數角度的旋轉。 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量，且具有可加性。

1910年，Template:Tsl和E. T. 惠特克提出用此參數來取代速度的觀念。而這個參數被Template:Tsl (1911)命名為快度，並隨後被許多筆者所採用，如盧迪威格·席柏斯坦 (1914)，愛德華·莫立 (1936)和沃夫岡·潤德勒 (2001)。

雙曲線扇形面積

雙曲函數xy=1的Template:Tsl，是由Template:Tsl提出的，他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積，可以用自然對數描述。 在時空理論中，類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“（絕對）過去”、“（絕對）未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上，一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸，向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線x = y。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線xy = 1來表示，其中速度為零的點對應到點$(1,1)$。任何一個雙曲線上的點都能以點$(e^w,e^{-w})$ 表示，其中的Template:Math即為快度，同時Template:Math也是從點$(1,1)$ 到點$(e^w,e^{-w})$與原點所構成的雙曲線扇形面積。 也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時，會使用單位雙曲線$x^2-y^2$，將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數，這樣的描述是參考了十七世紀時超越函數理論的發展，以及閔考斯基圖。

在一維空間中

快度Template:Math出現在勞倫茲變換的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積

$\left(\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cosh w& -\sinh w\\ -\sinh w& \cosh w\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right)=\mathrm{\Lambda }(w)\left(\begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right)$

矩陣Template:Math為$\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& p\end{array}\right)$的形式，其中Template:Math和Template:Math滿足關係Template:Math，因此Template:Math將會落在Template:Tsl上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1)，伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。 在矩陣指數表示法中，Template:Math可以被表示為$\mathrm{\Lambda }(w)=e^{𝐙w}$，其中Template:Math是矩陣

$𝐙=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$

不難證明

$\mathrm{\Lambda }(w_1+w_2)=\mathrm{\Lambda }(w_1)\mathrm{\Lambda }(w_2)$

這顯現出了快度實用的求和性質：若Template:Math，Template:Math和 Template:Math為參考座標系，則

$w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}$

其中 Template:Math 表示了參考座標系Template:Math相對於參考座標系Template:Math的快度。與速度加成式相比，這個式子更為簡潔。

我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子等同於Template:Math

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\equiv \cosh w$

因此快度Template:Math作為一個雙曲角，隱含在勞倫茲轉換中的Template:Math和β中。我們將快度與速度加成式聯繫在一起

$u=(u_1+u_2)/(1+u_1{u}_2/c^2)$

藉由

${\beta }_i=\frac{u_i}{c}=\tanh w_i$

從而得到

$\begin{array}{cc}\tanh w& =\frac{\tanh w_1+\tanh w_2}{1+\tanh w_1\tanh w_2}\\ & =\tanh (w_1+w_2)\end{array}$

Template:Math和Template:Math的乘積時常出現，從先前的討論可知

$\beta \gamma =\sinh w$

固有加速度（一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於固有時間（一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。

指數和對數關係

由上述的表達式可以得到

$e^w=\gamma (1+\beta )=\gamma (1+\frac{v}{c})=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}$

因此

$e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma (1-\frac{v}{c})=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$

或是更加清楚地表示為

$w=\ln [\gamma (1+\beta )]=-\ln [\gamma (1-\beta )]$

相對論性都普勒效應因子與快度Template:Math的關係為$k=e^w$。

在多維空間中

相對論性速度$\mathit{\beta }$與快度$𝐰$为下列關係所聯繫

$𝔰𝔬(3,1)\supset \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{K_1,K_2,K_3\}\approx {ℝ}^3\ni 𝐰=\hat{\mathit{\beta }}{\tanh }^{-1}\beta ,\mathit{\beta }\in {𝔹}^3,$

其中的向量$𝐰$是勞侖茲群對應的李代數$𝔬(3,1)\approx 𝔰𝔬(3,1)$中，由三個Template:Tsl$K_1,K_2,K_3$張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的$𝔬(1,1)$。因為光速$c$是速度量值的上限（選用單位使得$c=1$），所以速度符合條件$|\beta |<1$，因此速度空間可以用一個半徑為$1$的開球${𝔹}^3$表示。

一般性的快度求和公式為

$𝐰=\hat{\mathit{\beta }}{\tanh }^{-1}\beta ,\mathit{\beta }={\mathit{\beta }}_1\oplus {\mathit{\beta }}_2,$

其中${\mathit{\beta }}_1\oplus {\mathit{\beta }}_2$對應到速度加成式，$\hat{\mathit{\beta }}$是$\mathit{\beta }$方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為$\theta$的快度${𝐰}_1,{𝐰}_2$之和的模$w\equiv |𝐰|$（歐氏空間中的長度）由Template:Tsl給出

$\cosh w=\cosh w_1\cosh w_2+\sinh w_1\sinh w_2\cos \theta$

快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像，其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間，可以透過同樣的方法，與雙曲面模型建立Template:Tsl。閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。

兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量$\mathit{\theta }$來參數化的旋轉，兩者組合而成。

$\mathrm{\Lambda }=e^{-i\mathit{\theta }\cdot 𝐉}{e}^{-i𝐰\cdot 𝐊}$

這裡使用到了物理學家慣用的指數映射。 這是交換法則所致的結果

$[K_i,K_j]=-i{ϵ}_{ijk}{J}_k$

其中$J_k$是旋轉群的生成元，$(k=1,2,3)$，這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於參數$\mathit{\theta }$的計算方法。

在粒子物理中

一個非零（靜止）質量Template:Math粒子的能量Template:Math以及動量的大小Template:Math 為：

$E=\gamma m{c}^2$

$|𝐩|=\gamma mv$

透過快度Template:Math的定義

$w=\mathrm{artanh}\frac{v}{c}$

並且

$\cosh w=\cosh (\mathrm{artanh}\frac{v}{c})=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma$

$\sinh w=\sinh (\mathrm{artanh}\frac{v}{c})=\frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\beta \gamma$

能量和動量大小可以被表示為

$E=m{c}^2\cosh w$

$|𝐩|=mc\sinh w$

所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出：

$w=\mathrm{artanh}\frac{|𝐩|c}{E}=\frac{1}{2}\ln \frac{E+|𝐩|c}{E-|𝐩|c}$

然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義

$y=\frac{1}{2}\ln \frac{E+p_{z}c}{E-p_{z}c}$

其中Template:Math是沿著粒子束方向的動量分量。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目贗快度。

參見

• Template:Tsl
• 勞倫茲變換
• 贗快度
• 固有速度
• 相對論