矩問題

Template:Refimprove Template:No footnotes 数学上，矩问题詢問是否可以由一個测度 μ 的矩序列

$m_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}d\mu (x)$

確定該測度。更一般地，亦可考虑序列

$m_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{M}_n(x)d\mu (x).$

其中 M_n 為任意一列函數。

簡介

最典型的例子中，μ 取為實數線上的測度，並取 M 為序列 {xⁿ : n = 0, 1, 2, ... }. 此種矩问题源自概率论，其意義為：是否存在一個概率測度，其平均数、方差等組成的序列等於給定的序列，又及該測度是否唯一。

矩問題當中，有三種以人名命名，分別為：允許 μ 的支撑集為全條實軸的Template:Link-en、支撑集為 [0,+∞) 的Template:Link-en，以及支撑集為有界閉區間（不失一般性可設為 [0, 1]) 的Template:Link-en。

存在性

一個序列 m_n 為某個測度 μ 的矩，當且僅當其汉克尔矩阵 H_n,

$(H_n{)}_{ij}=m_{i+j},$

為半正定。 這是因為一個半正定的汉克尔矩陣對應一个线性泛函 $\mathrm{\Lambda }$，其滿足 $\mathrm{\Lambda }(x^n)=m_n$ 和 $\mathrm{\Lambda }(f^2)\ge 0$（即：當作用於多项式的平方和時，其結果非負）。假设 $\mathrm{\Lambda }$ 可以扩展成 $ℝ[x{]}^{*}$ 的元素。在单变量的情况下，非負的多项式必為若干個多項式的平方和，故线性泛函 $\mathrm{\Lambda }$於非負多项式處均取非負值。由 Template:Harvtxt，該线性泛函有測度形式，亦即 $\mathrm{\Lambda }(x^n)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}d\mu$. 在有界區間 [a, b] 上，測度 $\mu$ 的存在性也有類似形式的充要條件。

可用以下方法證明上述結論。設线性泛函 $\phi$ 將多项式

$P(x)=\sum _k{a}_k{x}^k$

映到

$\sum _k{a}_k{m}_k.$

若 m_kn 為以 [a, b] 為支撑的測度 μ 的矩，則

反之，如果 (Template:EquationNote) 為真，則可運用Template:Link-en將 $\varphi$ 擴展成 C₀([a, b]) 上的線性泛函，其滿足

由里斯表示定理，(Template:EquationNote) 成立當且僅當存在以 [a, b] 為支撐的測度 μ ，使得

$\phi (f)=\int fd\mu$

对任意的 f ∈ C₀([a, b]) 成立。

由此可見， $\mu$ 的存在性等價於 (Template:EquationNote). 再利用 [a, b] 上的非負多項式的表示定理，即可將 (Template:EquationNote) 寫成一個關於汉克尔矩阵的條件。

詳見 Template:Harvnb 和 Template:Harvnb 。

唯一性

豪斯多夫矩問題中，可由魏尔斯特拉斯逼近定理得到 μ 的唯一性。該定理斷言：[0, 1] 上的連續函數集中，在一致範數的意義下，多項式集是稠密的。至於在無窮區間上的矩問題，唯一性是一個更深入的問題。參見 Template:Link-en(1922)、Template:Link-en (1940s) 和 Template:Harvtxt.

变式

矩問題的一個重要變式是截尾矩問題，其研究具有給定前 k （不為無窮大）階矩的測度的性質。截尾矩問題的研究成果，可以應用在极值问题、优化理論，以及概率论的極限定理上。 参见： Template:Link-en 和 Template:Harvnb.

參見

• 斯蒂爾吉斯矩問題
• Hamburger 矩問題
• 豪斯多夫矩問題
• 矩 (數學)
• Carleman 條件
• 汉克尔矩阵

参考文献

• Template:Cite journal
• Template:Cite book
• Template:Cite book (由 N. Kemmer 譯自俄文)
• Template:Cite book (由 D. Louvish 譯自俄文)
• Template:Cite book