前向算法

Template:Expert Template:NoteTA 前向算法（Template:Lang），在隐马尔可夫模型（HMM）中，是用于计算“置信状态”的。置信状态指根据既往证据推算出的当前状态的概率分布。这个过程也被叫做“滤波”。前向算法和维特比算法紧密相关但又互不相同。

发展历史

前向算法是用来解决解码问题的算法之一。自从语音识别技术和模式识别技术发展以来，它也越来越普遍地被用在像计算生物学这样的使用HMM的领域内。

算法

整个算法的目标是计算联合概率分布 $p(x_t,y_{1:t})$。为了方便，我们把 $x(t)$ 简写做 $x_t$，将 $(y(1),y(2),...,y(t))$ 简写做 $y_{1:t}$。直接计算$p(x_t,y_{1:t})$则需要计算所有状态序列 $\{x_{1:t-1}\}$ 的边缘分布，而它的数量和 $t$ 成指数相关。使用这一算法，我们可以利用HMM的条件独立性质，递归地进行计算。

我们令

${\alpha }_t(x_t)=p(x_t,y_{1:t})=\sum _{x_{t-1}}p(x_t,x_{t-1},y_{1:t})$.

利用链式法则来展开$p(x_t,x_{t-1},y_{1:t})$，我们可以得到

${\alpha }_t(x_t)=\sum _{x_{t-1}}p(y_t|x_t,x_{t-1},y_{1:t-1})p(x_t|x_{t-1},y_{1:t-1})p(x_{t-1},y_{1:t-1})$.

由于 $y_t$ 和除了 $x_t$ 之外的一切都条件独立，而 $x_t$ 又和 $x_{t-1}$ 之外的一切都条件独立，因此

${\alpha }_t(x_t)=p(y_t|x_t)\sum _{x_{t-1}}p(x_t|x_{t-1}){\alpha }_{t-1}(x_{t-1})$.

这样，由于 $p(y_t|x_t)$ 和 $p(x_t|x_{t-1})$ 由HMM的输出概率和状态转移概率我们可以很快计算用 ${\alpha }_{t-1}(x_{t-1})$ 计算出${\alpha }_t(x_t)$，并且可以避免递归计算。

前向算法可以很容易地被修改来适应其他的HMM变种，比如马尔可夫跳跃线性系统。

平滑处理

为了能够使用“未来的历史”（比如我们在试图预测过去的某个时点的状态），我们可以运行后向算法，它是前向算法的一个补充。这一操作被称为平滑Template:Why。 前向-后向算法对 $1<k<t$ 计算 $P(x_k|y_{1:t})$，因此使用了过去和未来的全部信息。

解码算法

为了解码最可能的序列，需要使用维特比算法。它会从过去的观测中试图推测最可能的状态序列，也即使 $P(x_{0:t}|y_{0:t})$ 最大化的状态序列。