樊𰋀不等式

Template:CJK-New-Char Template:全域僻字 Template:Expert 樊𰋀不等式（Template:Lang-en）是华裔数学家樊𰋀发现的一个不等式。這個不等式的意義，在於因其與算幾不等式相似，從中可以推廣出很多結果。

敘述

樊𰋀不等式，用最簡單的形式可以表述為：

如果實數$x_1,\dots ,x_n$都符合$0<x_i\le \frac{1}{2}$，那麼

$\frac{{\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\frac{1}{n}}}{{[\prod _{i=1}^n(1-x_i)]}^{\frac{1}{n}}}\le \frac{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i}{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(1-x_i)}$，

等式成立當且僅當$x_1=\cdots =x_n$。

若分別記$x_i$的算術平均和幾何平均為$A_n\equiv \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$，$G_n\equiv {\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\frac{1}{n}}$；又記$1-x_i$的這兩種平均為$A_n^{\prime }\equiv \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(1-x_i)$，$G_n^{\prime }\equiv {[\prod _{i=1}^n(1-x_i)]}^{\frac{1}{n}}$，那麼不等式可寫作

$\frac{G_n}{G_n^{\prime }}\le \frac{A_n}{A_n^{\prime }}$。

如此可以看出它和算幾不等式$G_n\le A_n$的相似處。

證明

利用函數$f(x)=\ln x-\ln (1-x)$在$0<x\le \frac{1}{2}$的凹性，套用延森不等式，這樣得到一個簡單的證明。這證明可以直接推廣至不等式的加權形式：

$\frac{\prod _{i=1}^n{x}_i^{{\gamma }_i}}{\prod _{i=1}^n{(1-x_i)}^{{\gamma }_i}}\le \frac{\sum _{i=1}^n{\gamma }_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{\gamma }_i(1-x_i)}$，

其中${\gamma }_i\ge 0$，$\sum _{i=1}^n{\gamma }_i=1$。

相關不等式

如果記調和平均為$H_n:=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$，$H_n^{\prime }:=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{1-x_i}}$，在W. Wang, P. Wang (1984)有如下推廣：

$\frac{H_n}{H_n^{\prime }}\le \frac{G_n}{G_n^{\prime }}\le \frac{A_n}{A_n^{\prime }}$。

參考文獻

• Horst Alzer: Verschärfung einer Ungleichung von Ky FanTemplate:Dead link. Aequationes Mathematicae 36 (1988) 246-250.
• E. F. Beckenbach, R. Bellman: Inequalities. Springer-Verlag, Berlin 1983, 引用在 Alzer (1988).
• Edward Neuman, Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities I. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 5, Number 1 (2002), 49–56.
• Edward Neuman, Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities II Template:Wayback. Bulletin of the Australian Mathematical Society. Volume 72, Number 1 (2005), 87-107.
• Jósef Sándor, Tiberiu Trif: A new refinement of the Ky Fan inequality. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 2, Number 4 (1999), 529–533.
• W. Wang, P. Wang: A class of inequalities for the symmetric functions (中文) Acta Math. Sinica 27 (1984), 485-497, 引用在 Alzer (1988).