罗伊恒等式

罗伊恒等式（Roy's identity）是微观经济学中的一项重要结果，在生产者理论和消费者理论中都有应用。

具体表述

设消费者的间接效用函数为$v(𝐩,w)$，则商品$i$的马歇尔需求函数即为

$x_i^m=-\frac{\partial v/\partial p_i}{\partial v/\partial w}$，

其中$𝐩$为各商品的价格向量，$w$为收入。

证明

根据定义，间接效用函数满足约束条件$𝐩\cdot 𝐱=w$下的最大值$v(𝐩,w)=\underset{𝐱}{\max }u(𝐱)$。因此由带约束的包络定理立即得到

$\frac{\partial v}{\partial 𝐩}=\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐩}=-\lambda 𝐱$，

其中$ℒ=u(𝐱)-\lambda (𝐩\cdot 𝐱-w)$为拉格朗日乘數，由其表达式可得$\lambda =\frac{\partial ℒ}{\partial w}=\frac{\partial v}{\partial w}$，代入上式即得证。

參見

• 薛福輔理