自然密度

自然密度（Template:Lang-en），又称渐进密度（Template:Lang-en），是数论中度量自然数子集大小的工具之一。

简介

以平方数集和自然数集的大小关系为例：

平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数$n$都可以找到对应的平方数$n^2$与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。

然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。

考虑自然数的一个子集$A$和整数区间$[1,n]$：

如果从整数区间$[1,n]$中随机选取一个整数，那么这个整数属于$A$的概率应该等于$A$与整数区间$[1,n]$的交集中的所有元素在整数区间$[1,n]$中的占比。当$n$趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为$A$的自然密度。

$A$的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于$A$的概率。

自然密度（以及一些其他类型的密度）也是Template:Link-en的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

定义

对于一个自然数集的子集$A$，当$n$趋向于无穷时，若$A$中不大于$n$的元素个数与$n$的比值收敛到$\alpha$，则称$A$的自然密度为$\alpha$。

更进一步，若定义$a(n)$为$A$里不大于$n$的元素个数，那么命题“$A$的自然密度为$\alpha$”等效于：

$\frac{a(n)}{n}\to \alpha$，当$n\to \mathrm{\infty }$

从定义中可以看出，若$\alpha$是某个集合$A$的自然密度，则一定有$0\le \alpha \le 1$。

上自然密度

设$A$ 是自然数集$\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}$的一个子集。对任何$n\in \mathbb{N}$，定义$A(n)=\{1,2,\dots ,n\}\cap A$，$a(n)=|A(n)|$。

则$A$的上自然密度（Template:Lang-en）为：

$\bar{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a(n)}{n}$

其中$\mathrm{lim\; sup}$是上极限。 $\bar{d}(A)$也可简称为$A$的上密度。 

下自然密度

同样地，定义A的下自然密度（Template:Lang-en）为：

$\underset{\_}{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a(n)}{n}$

自然密度的其他定义方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说$A$的自然密度$d(A)$是：

若$\bar{d}(A)=\underset{\_}{d}(A)$，则$d(A)$等于$\bar{d}(A)$（或$\underset{\_}{d}(A)$ ） 。

2. 自然密度的定义还可以表示为：

$d(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(n)}{n}$（若极限存在）

3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：

若将自然数集$\mathbb{N}$的子集$A$写作一个递增数列：

$A=\{a_1<a_2<\dots <a_n<\dots ;n\in \mathbb{N}\}$

那么

$\underset{\_}{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{n}{a_n},$

$\bar{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{n}{a_n}$

$d(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{a_n}$（若极限存在）

推广

一个稍弱的密度定义是 上Banach密度（Template:Lang-en）。对于$A\subseteq \mathbb{N}$，定义$d^{*}(A)$为：

$d^{*}(A)=\underset{N-M\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|A\cap \{M,M+1,\dots ,N\}|}{N-M+1}$

性质

• 若对于集合$A$存在$d(A)$，则对于其补集$A^{\complement }$，$d(A^{\complement })=1-d(A)$成立。
• 若$d(A)$，$d(B)$及$d(A\cup B)$均存在，则$\max \{d(A),d(B)\}\le d(A\cup B)\le \min \{d(A)+d(B),1\}$成立。
• 自然数集的自然密度为$1$，即$d(\mathbb{N})=1$成立。
• 对于自然数集的任意有限子集$F$, 有$d(F)=0$成立。
• 对于平方数集$A=\{n^2;n\in \mathbb{N}\}$，有$d(A)=0$成立。
• 对于偶数集$A=\{2n;n\in \mathbb{N}\}$，有$d(A)=0.5$成立。更一般地，对于等差级数组成的集合$A=\{an+b;n\in \mathbb{N}\}$，有$d(A)=\frac{1}{a}$成立。
• 对于质数集合$P$，由质数定理知：$d(P)=0$成立。
• 无平方数因数的数的集合的自然密度为$\frac{6}{{\pi }^2}$。更一般地，无$n$次方因数的数的集合的自然密度为$\frac{1}{\zeta (n)}$，其中$\zeta (n)$是黎曼ζ函數。
• 过剩数集合具有非零的自然密度。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间。
• 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即$A=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\{2^{2n},\dots ,2^{2n+1}-1\}$，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。

其上自然密度为：

$\bar{d}(A)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}=\frac{2}{3}$

而其下自然密度为：

$\underset{\_}{d}(A)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}=\frac{1}{3}$

• 同样，所有十进制表示法中以$1$开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为$\frac{5}{9}$而其下自然密度为$\frac{1}{9}$。
• 对区间[0,1]上的任意Template:Link-en$\{{\alpha }_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$，定义单调集族$\{A_x{\}}_{x\in [0,1]}$:

$A_x:=\{n\in \mathbb{N}:{\alpha }_n<x\}$

则依定义有：

对于任意的$x$，$d(A_x)=x$。

• 若$S$有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理表明$S$包含了任意长度的等差数列。Template:Link-en表明，$S$内一定存在差为平方数的两个元素。

其他密度函数

用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合$A$的对数密度（Template:Lang-en）可以定义为：

$\mathit{\delta }(A)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\log x}\sum _{n\in A,n\le x}\frac{1}{n}$（若极限存在）

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

相关条目

• Template:Link-en
• 施尼勒尔曼密度

参考

• Template:Cite book
• Template:Cite journal
• Template:Cite web
• Template:Cite book