角度條件

根軌跡圖上的每一點和極點、零點組成向量的量值會滿足量值條件

角度條件（angle condition）是自動控制的根軌跡圖中，有關角度的限制條件，根軌跡圖中的點和閉迴路極點、零點組成向量的角度會滿足角度條件。角度條件和量值條件可以完全確定根軌跡圖。

令系統的特徵方程為$1+\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=0$，而$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=\frac{\mathbf{\text{P}}(s)}{\mathbf{\text{Q}}(s)}$，可改寫為以下各因式相乘的形式

$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=\frac{\mathbf{\text{P}}(s)}{\mathbf{\text{Q}}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2)\cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots (s-b_m)},$

則角度條件是指

$\mathrm{\angle }(\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s))=\pi +2k\pi$

其中$k$為整數。

也就是說

$\sum _{i=1}^m\mathrm{\angle }(s-b_i)-\sum _{i=1}^n\mathrm{\angle }(s-a_i)=\pi +2k\pi$

開迴路零點到$s$點角度的和，減去開迴路極點到$s$點角度的和，除$2\pi$後的餘數需等於$\pi$。

推導

假設。若將控制方程改為極坐標表示

$e^{j2\pi }+\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=0$

$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=-1=e^{j(\pi +2k\pi )}$

其中$k=0,1,2,\dots$為方程式中的解。將$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)$改寫為各因式相乘的形式

$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=\frac{\mathbf{\text{P}}(s)}{\mathbf{\text{Q}}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2)\cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots (s-b_m)},$

再將因式$(s-a_p)$及$(s-b_q)$用向量的形式$A_p{e}^{j{\theta }_p}$及$B_q{e}^{j{\phi }_q}$表示，因此可以改寫$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)$如下。

$\mathbf{\text{G}}(s)\mathbf{\text{H}}(s)=K\frac{A_1{A}_2\cdots A_n{e}^{j({\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_n)}}{B_1{B}_2\cdots B_m{e}^{j({\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m)}}$

簡化特徵方程式，

$\begin{array}{cc}{e}^{j(\pi +2k\pi )}& =K\frac{A_1{A}_2\cdots A_n{e}^{j({\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_n)}}{B_1{B}_2\cdots B_m{e}^{j({\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m)}}\\ & =K\frac{A_1{A}_2\cdots A_n}{B_1{B}_2\cdots B_m}{e}^{j({\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_n-({\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m))},\end{array}$

因此可以得到角度條件：

$\pi +2k\pi ={\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_n-({\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m)$

其中$k=0,1,2,\dots$,

${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n$

為極點1至n的角度，而

${\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_m$

為零點1至m的角度。

也可以用類似的方式推導量值條件。